Stetigkeit untersuchen |
| 08.11.2014, 23:26 | nureinnick | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Stetigkeit untersuchen Ich habe folgende Funktion gegeben: Nun soll ich diese skizzieren und auf Stetigkeit überprüfen. Die Skizze habe ich, mit Nullstellen bei x=1 und x=-1, lokalem Maximum bei x=0 von ca. 0,36 und außerhalb des [-1, 1]-Integrals als verschobene identische Funktion (ich beschreibe das hier mal einfach da der Scanner im Eimer ist und ich denke, dass ich den Graphen mit Latex nicht hinkrieg 
)Nun bin ich mir aber in Sachen Stetigkeit unsicher... In der Vorlesung hatten wir nur Fälle, wo man in der Skizze schon deutlich sah, dass die Funktion unstetig ist, zum Beispiel f(x)=[x], die dann zwar in R\Z stetig war, aber in Z unstetig... Nur hatten wir im Vorkurs auch den Fall von f(x)=|x| als unstetig erklärt, weil man bei der diagonalen Annäherung an x=0 das feststellen kann, weils da eben abknickt. Wurde uns da nur leider nicht auf "mathematisch" erklärt, weils halt der Physik-Vorkurs war. Daher meine Frage: Wie kann ich das mathematisch ausdrücken, diese diagonale Annäherung an x=1 / x=-1 (an die kritischen Stellen)? Ich brauche nur irgendeinen Ansatz... ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Nachtrag: Ich denke, ich hab Stetigkeit mit Differenzierbarkeit verwechselt... Ich mach die mal einfach dabei, dann schauts vollständiger aus ^^ Beiträge zusammengefügt - Guppi12 |
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| 09.11.2014, 00:07 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Inwiefern hast du das verwechselt? Sollst du nun eigentlich auf Differenzierbarkeit überprüfen ? Oder ist Stetigkeit schon richtig und du wolltest gerade aus Versehen auf Diff'barkeit überprüfen ? Vor weiterführender Hilfe hätte ich das gerne geklärt. |
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| 09.11.2014, 00:47 | nureinnick | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich wollte Diffbarkeit machen, sollte aber nur Stetigkeit machen (hab aber die Diffbarkeit einfach noch dabei gemacht ^^) Die nächste Aufgabe bereitet mir jetzt aber schon bei der Skizze Kopfzerbrechen... Wie soll ich eine Limesfunktion skizzieren? |
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| 09.11.2014, 00:57 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast die erste Aufgabe also abgeschlossen, ja? Zur zweiten: Hier empfiehlt es sich, die Funktion erstmal etwas zu vereinfachen. Das geht gut über eine Fallunterscheidung. Unterscheide . Versuche mal, den Limes für diese 3 Fälle zu berechnen. |
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| 09.11.2014, 01:09 | Kreis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielleicht hilft euch dieser Thread weiter... Stetigkeit und Grenzwerte ? |
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| 09.11.2014, 01:22 | nureinnick | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, bin auf dasselbe Ergebnis gekommen... Aber das sagt mir ja eigentlich nicht allzuviel über den Verlauf der Funktion aus, nur dass sie den Nullpunkt schneidet, nach unten gegen -1, nach oben gegen 1 geht... Also vermutlich nicht exponentiell sondern ... naja, umgekehrt, diagonal gespiegelt halt... Nur in welchem Maße? Beispielwerte einsetzen geht ja schlecht, weil j immer gegen unendlich geht... 
Ach soooo! Dann ist die Funktion eigentlich unstetig, oder? Weil sie für alle negativen x gegen -1 und für alle positiven x gegen 1 geht und nirgends von 1 / -1 zur Null geht sondern dort springt? Dann muss ich noch mit einem zweiten Limes gegen x_0=0 gehen, von rechts und links, und damit zeigen, dass die Funktion unstetig ist, oder? Ach ja: Die erste Aufgabe hab ich fertig, habs gegen x_0=1 und x_0=-1 laufen lassen, es kam dasselbe raus, also stetig, und Diffbarkeit hab ich dann einfach noch dazu gemacht, da kam dann Verschiedenes raus. |
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| 09.11.2014, 03:44 | nocheinnick | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie sieht denn dein Stetigkeitsbeweis aus? Hast du das mit Epsilon-Delta gemacht? |
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| 09.11.2014, 11:04 | nureinnick | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, aber nur bei der Exp-Funktion, da die ja nicht die 1 enthält (und ich nicht heimlich durch null teilen wollte ^^). Hab dann den Limes gegen 1 gebildet und statt 1 dann 1- Epsilon eingesetzt... Hoffe mal das das so geht, müsste ja der Definition entsprechen... |
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| 09.11.2014, 12:29 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich lese aus deinem vorletzten Beitrag heraus, dass du noch nicht so ganz verstanden hast, welche Funktion wir hier vorliegen haben.
Dieser Satz widerspricht sich nämlich irgendwie selbst. Mit Hilfe der Fallunterscheidung und Berechnung des Limes kannst du exakt angeben, welcher Wert zum Beispiel f(-1) ist.
Wie genau meinst du das? Sie geht eben nicht gegen einen Wert an der Stelle, sonder ist gleich einem Wert an dieser Stelle. Du kannst dir die Funktion jetzt explizit hinschreiben. Es gilt: . Nur noch die Werte für a,b,c angeben. Wenn du das getan hast, kannst du vergessen, dass die Funktion vorher über einen Limes definiert war und aufhören mit den schwammigen Ausdrücken rumzuhantieren. Ab da an kannst du dann einfach die neue Abbildungsvorschrift analysieren. |
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| 09.11.2014, 19:12 | kleinerRacker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist die oben genannte Funktion an x=1 und x=-1 denn Stetig? Mann kann ja mit der exp Funktion beliebig nahe an die Null dran, aber sie kann nicht Null werden, weshalb es doch bei x=1 bzw x=-1 einen kleinen Sprung geben müsste, wenn man von links oder von rechts annähert, oder wie kann man das anders nachweisen? |
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| 09.11.2014, 19:28 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo kleinerRacker, ich möchte dich bitten, in Zukunft innerhalb eines Threads nur einen Namen als Gast anzunehmen und nicht zwei verschiedene. Ansonsten weiß man nicht, mit wem man es zu tun hat, was leicht zu Verwirrungen führen kann. Nun zum Thema: Auch dir gebe ich den selben Tipp: stelle die Funktion erstmal ordentlich dar (indem du den Limes auflöst). Wie das geht, habe ich weiter oben geschrieben. |
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| 09.11.2014, 19:36 | kleinerRacker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Guppi12, Ich meinte eigentlich die Funktion die am Anfang des Threads steht. Ich bin mir da nicht sicher, ob exp(1/(x^2-1)) überhaupt nah genug an die Null rankommt, dass man sagen kann, dass es keinen Sprung gibt beim Übergang zu dem anderen Teil der Funktion, weil die Formel ja dann nicht mehr definiert ist, wenn man sich x=1 oder x=-1 nähert, also die beiden Funktionsteile bei Annäherung an 1 verschiedene Werte annehmen. |
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| 09.11.2014, 20:07 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso, das meinst du. Der Punkt ist, dass diese Funktion sogar beliebig nahe an die Null ran kommt, wenn man sich der Grenze nähert. Da gibt es keinen Sprung. Wenn du dazu weitere Fragen hast (zB wie man das formal beweist), so schlage ich vor, dass du dafür einen eigenen Thread aufmachst oder wartest, bis der Themenersteller hier mit seiner Aufgabe durch ist. Der Thread wird sonst unübersichtlich.
Gruß, Guppi12 |
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