Positive Definitheit einer Abbildung

10.11.2014, 18:15	KaterKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Positive Definitheit einer Abbildung Hallo, Wie kann ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} A(v,v')=axx'+bxy'+bx'y+cyy' \end{eqnarray}$ , wobei x,x' und y,y' Komponenten der Vektoren v und v' sind, vür v=v', also $\begin{eqnarray} A(v,v)=axx+bxy+bxy+cyy \end{eqnarray}$ genau dann positiv definit ist, wenn a>0 und ac-b²>0 gilt. Ich habe leider keinen Ansatz
11.11.2014, 11:48	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du suchst die Bedingung für die Zahlen a, b, c derart, dass gilt $\begin{eqnarray} 0<\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da die Matrix symmetrisch ist, kann man das Koordinatensystem stets so drehen (Hauptachsentransformation), dass diese quadratische Form diagonal wird und somit folgende Form annimmt $\begin{eqnarray} 0<\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\lambda_1 x^2+\lambda_2y^2 \end{eqnarray}$ Dabei sind $\begin{eqnarray} \lambda_1, \lambda_2 \end{eqnarray}$ die Eigenwerte der obigen Matrix. Zu zeigen ist also lediglich, dass die Eigenwerte der Matrix positiv sind. Diese Eigenwerte sind die Lösungen folgender quadratischer Gleichung $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a-\lambda & b \\ b & c-\lambda \end{vmatrix}=\lambda^2-\lambda\cdot (a+c)+ac-b^2=0 \end{eqnarray}$ Die Lösungsformel liefert $\begin{eqnarray} \lambda_{1,2}=\tfrac{a+c}{2}\pm\sqrt{\left ( \tfrac{a+c}{2}\right )^2-ac+b^2} \end{eqnarray}$ Anhand dieser Formel wird offensichtlich, dass die Eigenwerte wie gewünscht positiv werden, wenn einerseits gilt a+c>0 und wenn andererseits die Wurzel kleiner ist als der Summand $\begin{eqnarray} \tfrac{a+c}{2} \end{eqnarray}$ . Letzteres ist offenbar der Fall, wenn ac-b²>0

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »