Endliche Elemente

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t-rox Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche Elemente
Sei G eine Gruppe mit n elementen und m:=

Zeige:
a)
b)
c und


zu a)

da die gruppe nur n elmenten enthält gilt nach satz von fermat, dass a^n=e
also n =m und damit folgt m*1=n also

aus b) folgt damit ist e' ein weiteres neutrales element der gruppe e'=

allerdings gilt das es genau nur ein neutrales Element geben kann
also e= e'


also m*k=i-j

c) keine idee

----------
Edit(Helferlein): Folgebeitrag hier reinkopiert und anschließend gelöscht.

Es müsste heißen
m:=min

in der vorlesung würde def. a^0=e
also kann m=0 oder nach fermat m=n sein
t-rox Auf diesen Beitrag antworten »

Ist wenigstes dieser Gedanke richtig?
Wenn m:=min

(in der vorlesung würde def. a^0=e )
also kann m=0 oder nach fermat m=n sein

?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt: , d.h. die Ordnung eines Gruppenelements teilt die Ordnung der Gruppe. Umgekehrt gilt das i.d.R. nicht. Nur wenn a die Gruppe erzeugt, d.h. bei einer zyklischen Gruppe mit erzeugendem Element a, teilt die Gruppenordnung die Ordnung von a. Sie sind dann nämlich gleich.
t-rox Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich vertippt.

Sei G eine Gruppe mit n Elementen und m:=

Zeige:
a)

Für eine endliche Gruppe mit n elementen gilt und


d.h m =0 oder m=n

damit kann ich allerdings nicht die Behauptung zeigen.
Wo genau mache ich den Fehler?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von t-rox

Sei G eine Gruppe mit n Elementen und m:=


So, wie du das schreibst, ist m eine Menge. Du meinst vermutlich sowas:
. (Das >0 hab ich dazu geschrieben, da ich nicht weiß welche Definition von ihr benutzt, ob 0 dazu gehört oder nicht.)

Nach dem Satz von Lagrange gilt auf alle Fälle . Es kann aber auch eine kleinere Zahl m<n geben mit . Es gebe nun ein s mit . Was würde das bedeuten?
t-rox Auf diesen Beitrag antworten »

sm<n



für (s+1)m



Stimmt das überhaupt?
 
 
t-rox Auf diesen Beitrag antworten »

sm<n
und a^m=e
dann kann man n=s*m+r schreiben
und es gilt

damit die Gleichung stimmt muss r= m gelten

also n=(s+1)m
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte zwar geschrieben . Diese Annahme hätte man zu einem Widerspruch zur Minimalität von m führen können. Du hast stattdessen die (implizite) Annahme gemacht (solltest das aber etwas genauer auch noch hinschreiben), es sei sowie , was auch OK ist. Deine Beweisführung ist soweit OK, es fehlt nur noch die Aussage: .
t-rox Auf diesen Beitrag antworten »

aus b) folgt und es gilt für ein m e=

entweder ist m=i-j oder man kann i-j darstellen als i-j=m*k+r

mit k>0 und r<= m


genau wie aus a) folgen wir r=m damit haben

i-j=m(k+1)

was die Behauptung ergibt.

zu c) habe ich keine idee
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Den Fall i=j musst du natürlich auch berücksichtigen. Da aber jede Zahl die 0 teilt ist die Äquivalenz dann trivial. Ist trotzdem ein möglicher Fall. Ansonsten zeigt man Äquivalenz von zwei Aussagen, indem man die eine Richtung () und die andere Richtung () beweist. Nimm also für die -Richtung an, und folgere daraus . Nimm dann für die Rückrichtung an, , und folgere daraus .

Bei der c) ist irgendwas faul. Da solltest du das Aufgabenblatt noch einmal genau durchlesen. Die Untergruppe, die durch a erzeugt wird, hat Mächtigkeit m und nicht n. Es sei denn, die urspünglich betrachtete Gruppe ist bereits die zyklische Gruppe . Dies war aber wohl nicht gemeint.
t-rox Auf diesen Beitrag antworten »

habe ich bei b) die hinrichtung -> richtig gezeigt?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Erst mal solltest du schrieben, es gelte o.B.d.A. i > j. Ich versteh dann nicht, warum du schreibst: statt . Die Annahme k > 0 kannst du außerdem fallen lassen, es sollte lauten. Damit deckst du alle Fälle ab. Beim Beweis der -Richtung solltest du die Minimalität von m ins Spiel bringen.

(btw: ich mag die Bezeichnung "Hinrichtung" nicht, sie ist auch unüblich. Keine Ahnung, wer das mal aufgebracht hat. Wahrscheinlich derselbe D..., der statt "integrieren" "aufleiten" sagt. Augenzwinkern )
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