Geometrische Reihe / Konvergenz von Folgen / Bestimmung des Grenzwertes

11.11.2014, 23:46	Matthie	Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrische Reihe / Konvergenz von Folgen / Bestimmung des Grenzwertes Hallo Miteinander, ich bin neu in dem Forum und hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen. Kurz vorweg zu mir; ich habe ein grundständiges Studium begonnen, ohne Abitur (daher wahrscheinlich auch meine "Mathe-Schmerzen") als beruflich Qualifizierter. Die nachfolgende "Form" der Mahtematik war mir bisher unbekannt, und ist es auch noch - leider! Innerhalb meiner Vorlesungen kann ich meinem Prof. gedanklich leider nicht folgen - wahrscheinlich fehlen mir wichtige Grundlagen. Nun ja, nach dem Versuch mir mathematisches Wissen anzueignen und aufzuholen, sitze ich hinter meinen Lehrbüchern noch immer wie der "Ochse vor´m Scheunentor". Ich hoffe Ihr könnt mir bei den nachfolgenden Aufgaben weiterhelfen, ich habe nicht im leisesten eine Idee, wie ich mich der Lösung annähern kann. Eine Schritt-für-Schritt-Erklärung würde mir sehr weiterhelfen, gern auch persönlich (Berlin!), wenn jemand Freude und Spaß an der Mathematik haben sollte, und diese auch jemanden "Lernwilligen" verständlich erklären möchte, bin ich dafür offen. Zu den Aufgaben: 1. Geometrische Reihe Berechnen Sie mit Hilfe der Formel für die geometrische Reihe folgende Summen. a) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n x^k \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R \ \end{eqnarray}$ \ $\begin{eqnarray} \left\{ 1\right\} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=3}^{n+2} x^{k-2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R \ \end{eqnarray}$ \ $\begin{eqnarray} \left\{ 1\right\} \end{eqnarray}$ 2. Konvergenz von Folgen Die Folgen $\begin{eqnarray} \left(a_{n}\right) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \left(b_{n}\right) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \left(c_{n}\right) \end{eqnarray}$ seien definiert durch $\begin{eqnarray} a_{n} = \frac{n-9}{2n+2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_{n} = \frac{n}{2^n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_{n} = ln n \end{eqnarray}$ a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} a_{n} \Rightarrow 1/2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \Rightarrow \infty \end{eqnarray}$ b) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} b_{n} \Rightarrow 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \Rightarrow \infty \end{eqnarray}$ c) Zeigen Sie, dass die Folge $\begin{eqnarray} \left(c_{n}\right) \end{eqnarray}$ bestimmt divergiert, d.h. $\begin{eqnarray} c_{n} \Rightarrow + \infty \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\Rightarrow \infty \end{eqnarray}$ Fertigen Sie zudem jeweils eine Skizze an, in dem Sie den Verlauf der ersten Folgeglieder darstellen. 3. Bestimmung des Grenzwertes Berechnen Sie die Grenzwerte a) $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty }\frac{\sqrt{2n^3+n^2-1}}{(n-1)(n+2)} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty }(\frac{2n^2}{2n+1}-\frac{n^3}{n^2-1} ) \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty }\sqrt{n^2-1} -\sqrt{n^2+n} \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty }\frac{n(\sqrt{n+2}-\sqrt{n-1} )}{\sqrt{n+1} } \end{eqnarray}$
12.11.2014, 00:50	kingcools	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo kann man deine eigenen Ideen nachlesen? Oder Hinweise auf deine Probleme? Zumindest 1) sollte machbar sein, wenn du die Formel für die geometrische Reihe nachschlägst.
12.11.2014, 01:15	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Matthie, herzlich Willkommen im Forum leider hast du keine eigenen Gedanken oder Ansätze zum Lösen deines Problems aufgeschrieben. Dies ist aber unbedingt notwendig, wenn du Hilfe haben möchtest. Deshalb schreibe noch auf, welche Überlegungen du schon angestellt hast. Falls du grundsätzliche Verständnisfragen hast, so helfen wir dir auch bei diesen gerne weiter. Frag am besten gezielt nach, wenn dies der Fall ist. So können wir dir am besten helfen. Viele Grüße, Guppi12
12.11.2014, 09:06	Matthie	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Problem gebinnt bereits damit, dass ich nicht einmal weiß, wie man diese "Anhäufungen" von Symbolen und Variabeln: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n x^k \end{eqnarray}$ ausspricht, geschweige was diese bedeuten. Des Weiteren kann ich auch mit diesen Symbolen nichts anfangen: $\begin{eqnarray} \times \in \mathbb R \end{eqnarray}$ \ $\begin{eqnarray} \left\{1\right\} \end{eqnarray}$ . Das einzigste was ich erkenne, ist dass $\begin{eqnarray} \left\{1\right\} \end{eqnarray}$ die Angabe einer sogenannten Lösungsmenge darstellt(!) Beim Nachschlagen der Formel für die geometrischen Reihe, bin ich auf folgende gestoßen: $\begin{eqnarray} s= \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k} \end{eqnarray}$ Mich überfordert diese Formel noch mehr als diese bereits: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n x^k \end{eqnarray}$ Somit, würde ich euch gern meine Gedanken und Lösungsansätze mitteilen, aber ich kann nicht einmal die mathematische Aufgabe "lesen". Ich glaube mir wäre sehr geholfen, wenn sich jemand die Zeit nehmen kann, um Schritt-für-Schritt zu erläutern, was gemacht werden muss, um zur Lösung zu gelangen. Besten Gruß, Matthie
12.11.2014, 11:17	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Matthie, damit kann man was anfangen. Was studierst du nun eigentlich? Du bräuchtest so oder so sicherlich Literaturempfehlungen! Zu deinen Problemen: Kurz zu den Zahlenmengen die man verwendet: $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \end{eqnarray}$ bezeichnet die natürlichen Zahlen (bzw. streng genommen die Menge der natürlichen Zahlen), d.h. 0, 1, 2, 3, .... (je nach Autor kann die Null enthalten sein oder nicht) $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ bezeichnet die ganzen Zahlen, d.h. 0, -1, 1, -2, 2, ... (hier und folgend ist die Null IMMER enthalten) $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ bezeichnet die rationalen Zahlen, dies sind alle Zahlen die durch n/m gebildet werden können, wobei n und m ganze Zahlen sind. Natürlich ist m = 0 ausgeschlossen. Natürlich umfasst Q im speziellen alle Brüche. Aber z.B. Wurzel(2) oder pi sind nicht enthalten, da nicht auf diese Art darstellbar. $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ enthält salopp formuliert alle Zahlen die man im allgemeinen verwendet. Man sagt N ist Teilmenge von Z, da jede Zahl in N auch in Z liegt. Z ist Teilmenge von Q. Q ist Teilmenge von R. Nun weiter: Das $\begin{eqnarray} \sum \end{eqnarray}$ wird Summenzeichen genannt bzw. kurz Summe. Das $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^N \end{eqnarray}$ ist dann eine Summe für n = 0 bis N, wobei N eine natürliche Zahl ist. n wird dann in was nach dem Summenzeichen steht eingesetzt. Also z.B. $\begin{eqnarray} \sum_{n=2}^4 n = 2 + 3 + 4 = 9 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \sum_{n=-1}^2 2^n = 2^-1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 = 0.5 + 1 + 2 + 4 = 7.5 \end{eqnarray}$ Ob da n, k, l oder sonst ein Buchstabe steht ist völlig egal. Dein konkreter Fall lautet: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n x^k \end{eqnarray}$ , dies ist dann offensichtlich $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n x^k = x^1 + x^2 + ... + x^n \end{eqnarray}$ . Die "..." in der Summe deuten an, dass zwischen x^2 und x^n alle dazwischen liegenden Summanden stehen, diese aber nicht notiert sind, da klar ist wie die Summe weitergeht. Eine Summe mit endlich vielen Gliedern (das ist wesentlcih, wenn also n nicht gleich "unendlich" ist) wird auch eine "Reihe" genannt. Es ist aber auch eine (unendliche) Reihe, wenn n gegen unendlich geht, aber dann keine gewöhnliche Summe mehr, da dann der sogenannte Grenzwert gebildet wird und daher manche gewöhnliche Summeneigenschaften (d.h. Additionseigenschaften) unter Umständen nicht mehr gelten. Falls dich das verwirren sollte, erstmal ignorieren. Die Symbole $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} \end{eqnarray}$ sagen aus, dass das x in der Summe aus den reellen Zahlen kommen muss aus denen die 1 entfernt wurde. x darf also jeder Wert sein, außer der 1. Man würde z.B. sagen "x ist Element der reellen Zahlen ohne die 1" oder noch kürzer "x Element R ohne 1" oder ähnliches. ("R" steht im Mathematiksprech meist für die reellen Zahlen) Der Ausdruck $\begin{eqnarray} s= \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k} \end{eqnarray}$ bezeichnet den Wert der unendlichen Reihe auf der rechten Seite. Es wird der sogenannte Grenzwert der sogenannten Partialsummen betrachtet. Partialsummen sind gerade die Summen von oben mit endlichem n. Anschaulich untersucht man, welchem Wert (und ob, dass muss nicht sein) sich also bei zunehmendem n der Ausdruck $\begin{eqnarray} s= \sum\limits_{k=0}^n a_{k} \end{eqnarray}$ nähert. Der Grenzwert ist präzise (und nicht so salopp wie ich es tue) definiert, mit diesem musst du dich vertraut machen. Falls du dich wunderst, dass bei unendlich vielen "Summanden" (streng genommen ist es wie gesagt aufgrund des Grenzwertes keine Summe) eine endliche Zahl rauskommt, überleg dir doch was denn etwa Zahlen wie "1,111111.." sind. Auch eine unendliche Summe immer kleinerer Glieder. Mit math.upb.de/~mathkit/Inhalte/Reihen/data/manifest11/geometrisch.html sollte 1a) funktionieren! q ist hierbei dein x. Beachte, dass die geometrische Reihe bei k = 0 beginnt. Was musst du dann ändern? (Schreib dir mal beide Varianten mit k = 0 und k = 1 auf und rechne die ersten sagen wir drei Glieder aus bzw schreib sie hin, du wirst es erkennen) 1b) k beginnt bei 3, oh schreck. Aber es steht auch x^(k-2) da. Rechne auch da mal die ersten drei Glider aus bzw schreib sie hin und überleg dir, wie das mit a) zusammenhängt. Muss nun erstmal was anderes machen, bei 2 und 3 muss dir erstmal wer anderes helfen.

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