Matrix A einer linearen Abbildung, Kern und Bild müssen erfüllt werden

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OPR_Runner Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix A einer linearen Abbildung, Kern und Bild müssen erfüllt werden
Meine Frage:
Moin Moin,

ich habe folgende Aufgabe und versteh die Aufgabenstellung nicht so direkt...

Eine reelle 2 x 2 - Matrix kann als lineare Abbildung aufgefasst werden:

A:



Bestimmen Sie die Matrix , sodass gilt:

Der Vektor ist im Kern der zur Matrix A gehörenden linearen Abbildung

und

das Bild von

Die Frage die sich mir nun aufstellt ist:


Muss in A enthalten sein? Also muss das so aussehen?



Ist eigentlich wirklich nur eine reine Verständnisfrage...

Meine Ideen:
Kern und Bild als Begriffe sind mir durchaus klar
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Kern und Bild als Begriffe sind mir durchaus klar


Dann teile doch mal mit, was du darunter verstehst.
Denn dass du den Urbildvektor (3|-3) direkt in die Abbildungsmatrix A schreibst, lässt eher daran zweifeln, dass du die Begriffe verstanden hast. Augenzwinkern
OPR_Runner Auf diesen Beitrag antworten »

Na der Kern einer lin. Abb. ist die Menge aller Vektoren im Urlbildraum, die auf dem Nullvektor abgebildet werden.

Das Bild einer lin. Abb. ist die Menge, aller Vektoren im Bildraum, die mindestens ein Element in ihrem Urbild haben.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Theoretisch ist es dir also klar, somit dann praktisch wohl nicht ganz.
Wenn der Vektor (3|-3) auf den Vektor (1|1) abgebildet wird, bedeutet dass ja nichts anderes als



Das halt also nichts damit zu tun, dass der Vektor in der Matrix A selbst auftaucht.

Zusammen mit der Kern-Aussage entsteht damit ein LGS, was man lösen und damit die 4 Einträge der Matrix A bestimmen kann.
OPR_runner Auf diesen Beitrag antworten »

Also



und



Und das denn in ein LGS zusammenfügen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, das führt dann zu 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten.
Die 4 Unbekannten sind dann eben die gesuchten Einträge der gesuchten (2x2)-Abbildungsmatrix A der Form
 
 
OPR_Runner Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müsste die Lösung



sein, korrekt???
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, denn wenn du A mit dem Vektor (3|-3) multiplizierst, dann kommt nicht (1|1) raus.
OPR_Runner Auf diesen Beitrag antworten »



Jetzt aber, oder?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
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