Restklassen

12.11.2014, 16:07	R-ed	Auf diesen Beitrag antworten »
Restklassen Zeig $\begin{eqnarray} \Phi : (Z_m,+)\otimes (Z_n,+) \rightarrow (Z_{mn},+) \end{eqnarray}$ ist ein Gruppenhomomorphismus. mit $\begin{eqnarray} \Phi (\begin{bmatrix} x \end{bmatrix}_m + \begin{bmatrix} y \end{bmatrix}_n)= \begin{bmatrix} nx+my \end{bmatrix}_{mn} \end{eqnarray}$ Z.z ist $\begin{eqnarray} \Phi (a+b)= \Phi (a)+\Phi (a) \end{eqnarray}$ Sehen wir uns : $\begin{eqnarray} \Phi (\begin{bmatrix} x \end{bmatrix}_m + \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}_n)= \begin{bmatrix} nx \end{bmatrix}_{mn} \end{eqnarray}$ kann man daraus folgern ? $\begin{eqnarray} \Phi (\begin{bmatrix} x \end{bmatrix}_m )= \begin{bmatrix} nx \end{bmatrix}_{mn} \end{eqnarray}$
12.11.2014, 16:28	R-ed	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hatte einen Denkfehler. Sei a,b Element von $\begin{eqnarray} (Z_m,+)\otimes (Z_n,+) \end{eqnarray}$ d.h a:= x restklasse m + y restklasse n b:= w restklasse m + z restklasse n $\begin{eqnarray} \Phi (a+b)=\Phi (\begin{bmatrix} x \end{bmatrix}_m + \begin{bmatrix} y \end{bmatrix}_n + \begin{bmatrix} w \end{bmatrix}_m + \begin{bmatrix} z \end{bmatrix}_n)= \Phi (\begin{bmatrix} x +w \end{bmatrix}_m + \begin{bmatrix} y +z \end{bmatrix}_n)=\begin{bmatrix} n(x+w)+m(y +z)\end{bmatrix}_{mn}= \begin{bmatrix} nx+my \end{bmatrix}_{mn}+\begin{bmatrix} nw+mz \end{bmatrix}_{mn}= \Phi (a)+\Phi (b) \end{eqnarray}$ hoffe das passt?
14.11.2014, 15:58	R-ed	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu zeigen ist auch das Phi Surjektiv ist Für alle z element Z_mn kann z dargesetll werden mit $\begin{eqnarray} \begin{bmatrix}z\end{bmatrix}_{mn}=\begin{bmatrix} nx+my \end{bmatrix}_{mn} \end{eqnarray}$ Wähle $\begin{eqnarray} a =(\begin{bmatrix} x \end{bmatrix}_m + \begin{bmatrix} y \end{bmatrix}_n) \end{eqnarray}$ Damit gilt Phi(a)= z und damit ist Phi surjektiv
14.11.2014, 18:07	R-ed	Auf diesen Beitrag antworten »
es soll gelten ggt(m,n)=1 und zu zeigen ist dass Phi isomorph ist, allerdings fehlt mir der Ansatz. Aus Phi(a)=Phi(b) -> a=b $\begin{eqnarray} \begin{bmatrix} na_1+ma_2 \end{bmatrix}_{mn}=\begin{bmatrix} nb_1+mb_2 \end{bmatrix}_{mn} \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \begin{bmatrix} n(a_1-b_1)+m(a_2-b_2) \end{bmatrix}_{mn}=0 \end{eqnarray}$ und hier komme ich nicht weiter

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