Reihen, Vergleichskriterium

12.11.2014, 16:22

Nianmor

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Reihen, Vergleichskriterium

Meine Frage:
Alaaf!
Ich habe leider keine Ahnung wie ich folgende Aufgaben lösen soll:
a) Sei $\begin{eqnarray*} K\geq 1 \end{eqnarray*}$ fest gegeben. Folgern sie aus der in der Vorlesung gezeigten Aussage $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n}=1 \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{K}=1<br /> <br /> \end{eqnarray*}$
b) Zeigen sie, dass sogar für alle K>0 diese Aussage gilt.
c)Es seien a und b beliebige nicht negative reelle Zahlen. Zeigen sie $\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}= \end{eqnarray*}$ max{a,b}

Benutzen sie u.a das Vergleichskriterium für die Folgekonvergenz.

Meine Ideen:
Also zuerst hatte ich versucht $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{K}=1 \end{eqnarray*}$ mit der normalen Definition des Grenzwertes zu beweisen, sprich ich suche ein E für das es einen Startindex N gibt ab welchem alle Folgenglieder einen kleineren Abstand[......].
Das schien mir allerdings falsch und hat auch nicht funktioniert.
Mir schwirrt auch noch die Idee im Kopf rum, dass ich statt n-te Wurzel (n+1)te und (n-1)te schreibe und dann das ?Vergleichskriterium? anwende...habe aber keinen Schimmer wie ich das vollziehen soll.

Es wäre sehr nett wenn mich wer durch die Aufgaben führen könnte!

Mfg,
Jan

12.11.2014, 16:31

Gurki

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RE: Reihen, Vergleichskriterium
In Teil a) könntest Du versuchen zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} 1\leq \sqrt[n]{K}\leq\sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ für hinreichend große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und dann daraus folgern.

12.11.2014, 16:33

10001000Nick1

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Willkommen

im Matheboard! smile

smile

a) Schätze $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{K} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ nach oben ab.

b) Tipp: $\begin{eqnarray*} 0<K<1\Leftrightarrow \frac{1}{K}>1 \end{eqnarray*}$

c) Nimm zuerst an, dass $\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$ ist. Klammere dann a aus.
Der Fall $\begin{eqnarray*} b>a \end{eqnarray*}$ geht dann genauso.

12.11.2014, 16:40

Nianmor

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$\begin{eqnarray*} 1\leq \sqrt[n]{K} \leq \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann dort den Limes bilde hätte ich ja stehen
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty b} 1 \leq \sqrt[n]{K} \leq 1 \end{eqnarray*}$

Wäre das schon ausreichend?

12.11.2014, 16:47

10001000Nick1

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Meintest du vielleicht $\begin{eqnarray*} 1\leq \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{K} \leq 1 \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt noch angibst, für welche n die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{K} \leq \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ gilt, dann bist du fertig.
Besser wäre es vielleicht, wenn man noch einen Zwischenschritt einfügt: $\begin{eqnarray*} 1\leq \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{K}\leq \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1 \end{eqnarray*}$

12.11.2014, 16:53

Nianmor

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Danke erstmal für die Antworten!
Grundsätzlich müsste das ja nur für n>=1 gelten, oder täusche ich mich da?

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12.11.2014, 16:55

10001000Nick1

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Wenn z.B. $\begin{eqnarray*} k=9, n=2 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{9}=3>\sqrt[2]{2} \end{eqnarray*}$ . Also wird diese Abschätzung noch nicht ab n=1 gelten.

12.11.2014, 16:59

Nianmor

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Tut mir leid, ich bin nicht der MAthe-Freak, aber wäre die Trivial-Lösung nicht einfach n=K?
$\begin{eqnarray*} \sqrt[K]{K} = \sqrt[K]{K} \end{eqnarray*}$
verwirrt

verwirrt

12.11.2014, 17:02

10001000Nick1

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Die Gleichung, die du da hingeschrieben hast, ist zweifellos richtig, aber man erkennt immer noch nicht so richtig, ab welchem n die Abschätzung gelten soll (aber vielleicht meintest du ja das richtige.)

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{K} \leq \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\geq K \end{eqnarray*}$ . Und daraus folgt die Abschätzung des Grenzwertes.

12.11.2014, 17:11

Nianmor

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Das ist, wenn man bedenkt dass steigende Wurzeln gen 1 konvergieren, ziemlich logisch....Danke!

Aufgabe 2 Wäre dann Analog?
$\begin{eqnarray*} <br /> 0<K<1 \Rightarrow \frac{1}{K}>1 \Rightarrow 1\leq \sqrt[n]{\frac{1}{K} } \leq \sqrt[n]{n} <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Was ja schon in a) bewiesen wurde

12.11.2014, 17:55

Nianmor

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Jetzt bräuchte ich dennoch nochmal Hilfe bei der C)...wie soll ich da ausklammern und was bringt mir das?

Danke

12.11.2014, 18:49

klarsoweit

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RE: Reihen, Vergleichskriterium
Betrachte den Fall a >= b. Dann kannst du a^n ausklammern.

12.11.2014, 19:21

Nianmor

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RE: Reihen, Vergleichskriterium
Danke für die Antwort, allerdings hat mir das der Vorposter auch schon gesagt. Ich habe aber keine Ahnung wie man das macht.
Ich habe es mal versucht und $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{\frac{1 }{a^{n}} +\frac{b^{n}}{a^{n}} } \end{eqnarray*}$ raus...
(Nach Anleitung auf irgendeiner Seite)

12.11.2014, 19:36

10001000Nick1

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Wie bist du darauf gekommen?
Versuche erstmal, im Radikanden $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ auszuklammern (und ignoriere die Wurzel).

12.11.2014, 19:39

Nianmor

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Ach so.
$\begin{eqnarray*} <br /> \sqrt{a^{n}\left(1+\frac{b^{n}}{a^{n}} \right) }<br /> \end{eqnarray*}$

/edit
-->
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^{n}}*\sqrt{1+\frac{b^{n}}{a^{n}} } \end{eqnarray*}$

--->
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^{n}}*\sqrt{1+\frac{b^{n}}{a^{n}} } \leq \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}} \leq \sqrt{b^{n}}*\sqrt{1+\frac{a^{n}}{b^{n}} }<br /> \end{eqnarray*}$

??

--> Das würde unbestimme Ausdrücke erzeugen... verwirrt

verwirrt

verwirrt

traurig

traurig

12.11.2014, 19:44

10001000Nick1

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Schon besser. Allerdings hast du hier n-te Wurzeln und nicht Quadratwurzeln.

Edit: Was willst du mit der letzten Zeile sagen, die du noch hinzugefügt hast? Übrigens gilt dort immer Gleichheit, nicht nur $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ .

12.11.2014, 19:49

Nianmor

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Ach, hier jeiht et wigger.

Ich habe den Post bearbeitet

Ach so.
$\begin{eqnarray*} <br /> \sqrt{a^{n}\left(1+\frac{b^{n}}{a^{n}} \right) }<br /> \end{eqnarray*}$

/edit
-->
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^{n}}*\sqrt{1+\frac{b^{n}}{a^{n}} } \end{eqnarray*}$

--->
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^{n}}*\sqrt{1+\frac{b^{n}}{a^{n}} } \leq \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}} \leq \sqrt{b^{n}}*\sqrt{1+\frac{a^{n}}{b^{n}} }<br /> \end{eqnarray*}$

??

--> Das würde unbestimme Ausdrücke erzeugen... verwirrt

verwirrt

verwirrt

traurig

traurig

12.11.2014, 19:52

10001000Nick1

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Antwort einen Beitrag weiter oben.

12.11.2014, 19:53

Nianmor

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Wir hätten in der Wurzel ja An/Bn stehen...unendlich durch unendlich...oder nicht?
Und was soll ich damit jetzt machen?
smile

smile

12.11.2014, 19:56

10001000Nick1

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Korrigiere doch erstmal den Fehler mit der Quadrat-/n-ten Wurzel.

Wir betrachten doch gerade den Fall $\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$ . Gegen was konvergiert dann $\begin{eqnarray*} \frac{b^n}{a^n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n \end{eqnarray*}$ ?

12.11.2014, 19:59

Nianmor

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Solange A!=B!=0, dann konvergiert es gegen 0.
Das mit den Wurzeln habe ich im Kopf smile

smile

12.11.2014, 20:01

10001000Nick1

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OK.
Jetzt kannst du dir auch überlegen, gegen was $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{1+\left(\frac{b}{a}\right)^n} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

12.11.2014, 20:02

Nianmor

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Bin kurz essen, bitte nicht wundern!

Solltest du nachher noch da sein wäre das schön, ansonsten bis morgen/o.ä.

12.11.2014, 20:02

Nianmor

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1?

12.11.2014, 20:22

10001000Nick1

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Ja, und damit weißt du jetzt auch, gegen was $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a^n+b^n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Genauso geht der Fall $\begin{eqnarray*} b>a \end{eqnarray*}$ .
Und der Fall $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ ist dann noch viel einfacher. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Noch etwas zu deiner Lösung zu b):

Zitat:

Original von Nianmor
Aufgabe 2 Wäre dann Analog?
$\begin{eqnarray*} <br /> 0<K<1 \Rightarrow \frac{1}{K}>1 \Rightarrow 1\leq \sqrt[n]{\frac{1}{K} } \leq \sqrt[n]{n} <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Was ja schon in a) bewiesen wurde

Da fehlt noch die Begründung, warum daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{K} \end{eqnarray*}$ gegen 1 konvergiert.

12.11.2014, 21:47

Nianmor

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Wenn ich mich recht entsinne müsste es dann doch für a>b gegen a konvergieren, da 1* Lim a.
--> b>a = b und respektiv die Gleichheit.

Welche Begründung würdest du bei 2 noch hinzunehmen?

12.11.2014, 22:33

Nianmor

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Wobei da doch eigentlich steht:
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a^{n}}* 1+\frac{b^{n}}{a^{n}}\Rightarrow \Rightarrow 1*1 = 1 \end{eqnarray*}$
Und damit nicht a sondern 1 der GW ist

12.11.2014, 22:56

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Nianmor
Wobei da doch eigentlich steht:
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a^{n}}* 1+\frac{b^{n}}{a^{n}}\Rightarrow \Rightarrow 1*1 = 1 \end{eqnarray*}$

Irgendwie ist deine Notation sehr merkwürdig. verwirrt

verwirrt

Wenn ich das richtig verstehe, bist du also der Meinung, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a^n} \end{eqnarray*}$ gegen 1 konvergiert. $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a^n} \end{eqnarray*}$ ist doch aber nichts anderes als $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Und bekanntlich ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a=a \end{eqnarray*}$ .

Bei b) hast du bis jetzt nur gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{K}}=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0<K<1 \end{eqnarray*}$ gilt. Zu zeigen ist aber: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{K}=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0<K<1 \end{eqnarray*}$ . Irgendeine Idee, wie man das noch schlussfolgern könnte?

12.11.2014, 22:57

Nianmor

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Habe ich das nicht schon in a) geschlussfolgert?
Und dann habe ich die C) fertig, oder?
Natürlich mit der Fallunterscheidung wann was ausgeklammert wird (a>b || b>a)

12.11.2014, 23:15

10001000Nick1

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Mithilfe von a) kannst du nur sagen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{K}=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} K\geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt. Oder eben $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{K}}=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0<K<1 \end{eqnarray*}$ .

Der Beweis von a) funktioniert für $\begin{eqnarray*} 0<K<1 \end{eqnarray*}$ nicht, denn da haben wir benutzt, dass $\begin{eqnarray*} 1\leq \sqrt[n]{K} \end{eqnarray*}$ gilt, was aber für $\begin{eqnarray*} 0<K<1 \end{eqnarray*}$ nicht so ist.

Ich dachte an sowas:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{K}}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{K}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{K}}\textcolor{red}{=}\frac{\lim\limits_{n\to\infty} 1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{K}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{K}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{K}=1 \end{eqnarray*}$ .

Bleibt nur noch ein "Problem": Bei dem rot markierten Gleichheitszeichen habe ich einen Grenzwertsatz benutzt, den man allerdings nur anwenden darf, wenn die Folgen in Zähler und Nenner beide konvergieren. Bei der Folge im Zähler ist die Konvergenz offensichtlich (dort steht eine konstante Folge); zu zeigen ist aber noch, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{K} \end{eqnarray*}$ konvergiert (0<K<1). Wenn du das noch zeigst, dann ist also das rote Gleichheitszeichen gerechtfertigt und der Beweis damit fertig.

12.11.2014, 23:18

Nianmor

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ist das die Regel von L'Hospital?

Wie zeige ich denn jetzt schnell dass die Folge Konvergiert? Ich weiß, dass sie Beschränkt ist...müsste ich jetzt die Monotonie beweisen und wenn ja wie?
Danke bis hierhin aber!
Edith ist ein schöner Name:
So ganz dunkel weil wir das noch nicht hatten...Majorantenkriterium= Folge für K>=1 ist ja größer als 0<k<1...müsste diese Konvergenz dann nicht auch die Konvergenz der aktuellen bestimmen?

12.11.2014, 23:30

10001000Nick1

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Nein, das ist nicht L'Hospital. Ich habe folgenden Satz benutzt (den du sicher schon kennengelernt hast):
Wenn $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb{N}}, (b_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ konvergente Folgen sind mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}b_n=b\neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann konvergiert auch $\begin{eqnarray*} \left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ .

Deine Idee ist genau richtig: Man zeigt Monotonie und Beschränktheit.
Was vermutest du denn: Ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{K} \end{eqnarray*}$ (streng) monoton wachsend oder fallend oder keines von beiden?
Im ersten Fall musst du zeigen $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{K}\leq (<)\sqrt[n+1]{K} \end{eqnarray*}$ ; und im zweiten Fall $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{K}\geq (>)\sqrt[n+1]{K} \end{eqnarray*}$ .

Ich bin jetzt weg; aber den Rest schaffst du sicher auch selbst. Ich bin dann morgen wieder da. Wink

Wink

13.11.2014, 00:00

Nianmor

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$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{K}-\sqrt[n+1]{K}\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> <br /> \frac{\sqrt[n]{K}}{\sqrt[n+1]{K} } \geq 1<br /> \end{eqnarray*}$

Würde das schon reichen um die Monotonie (fallend) zu beweisen?
Gute Nacht und DANKE für deine Geduld und Hilfe!
Man hört morgen voneinander Big Laugh

Big Laugh

Gott

Wink

Freude

13.11.2014, 08:44

10001000Nick1

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Sicher, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{K} \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist? Beachte, dass wir immer noch Aufgabe b) sind (und folglich $\begin{eqnarray*} K<1 \end{eqnarray*}$ ). smile

smile

13.11.2014, 09:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
OK.
Jetzt kannst du dir auch überlegen, gegen was $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{1+\left(\frac{b}{a}\right)^n} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Da nicht so klar ersichtlich ist, daß das gegen 1 konvergiert (schließlich konvergiert $\begin{eqnarray*} (1 + \frac 1 n)^n \end{eqnarray*}$ auch nicht gegen 1), sollte man den Beweis so aufziehen:

Für a >= b ist: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{1} \leq \sqrt[n]{1+\left(\frac{b}{a}\right)^n} \leq \sqrt[n]{1 + 1} \end{eqnarray*}$

Mit dem Sandwich sieht man jetzt, daß der mittlere Ausdruck gegen 1 konvergiert.

13.11.2014, 12:33

Nianmor

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Nein, es ist natürlich monoton steigend^^

Aber wie beweise ich das jetzt ausreichend? Ist meine Methode ausreichend?

Lg und Danke

13.11.2014, 16:35

10001000Nick1

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Welche Methode meinst du?

Etwa das hier?

Zitat:

Original von Nianmor
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{K}-\sqrt[n+1]{K}\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{\sqrt[n]{K}}{\sqrt[n+1]{K} } \geq 1<br /> \end{eqnarray*}$

Nein, das reicht nicht. Denn du hast ja gar nicht begründet, warum diese Ungleichungen gelten (wobei natürlich die Relationszeichen noch umgedreht werden müssen).

13.11.2014, 20:31

Nianmor

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So...Ich bin zurück...Bio-Praktika sind doch was schönes.

Ok, dann muss ich leider passen. Wärest du so freundlich mir zu erklären wie das geht? Ich sehe keine Möglichkeit das groß umzuformen dass dann wieder nte Wurzel K da steht etc...
:/
unglücklich

unglücklich

13.11.2014, 22:53

10001000Nick1

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Jaja, noch schöner sind nur Physik-Praktika. (Achtung Ironie!) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich würde folgendes machen:
$\begin{eqnarray*} K=K^1>K^1\cdot K^\frac{1}{n}=K^{1+\frac{1}{n}}=K^\frac{n+1}{n}=\left(\sqrt[n]{K}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$
Jetzt noch auf beiden Seiten der Ungleichung die (n+1)-te Wurzel ziehen.

14.11.2014, 07:48

Nianmor

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D-D-Das ist....genial! Und sogar einfach...aber man muss da erstmal drauf kommen Big Laugh

Big Laugh

Ich danke allen die geholfen haben!
Chemie, Physik und Bio sind Kinkerlitz, daher bis demnächst!

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