Identität Nachweisen einer Doppelsumme

13.11.2014, 12:15

Struck

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Identität Nachweisen einer Doppelsumme

Meine Frage:
Hallo,
ich soll für eine Übungsserie eine Identität nachweisen komm allerdings nicht gerade weit.
Die gleichung lautet:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k,i=1}^n (ai-ak)(bi-bk) = 2 * (n * \sum\limits_{k=1}^n ak*bk - (\sum\limits_{k=1}^n ak) ( \sum\limits_{k=1}^n bk) ) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine bisherige Idee war es die linke Seite so umzuformen, dass die rechte Seite entsteht.
Ich habe bisher folgende Schritte getan:
$\begin{eqnarray*} \\ \sum\limits_{k=1}^n (\sum\limits_{i=1}^n (ai-ak)(bi-bk)) \\ = \sum\limits_{k=1}^n (\sum\limits_{i=1}^n (aibi - aibk - akbi + aibk)<br /> = \sum\limits_{k=1}^n (\sum\limits_{i=1}^n (aibi-akbi)) \end{eqnarray*}$
Nun komme ich allerdings nicht weiter.
Hoffe ihr könnt mir einen Tipp geben oder einen anderen Ansatz, da sich meiner nicht wirklich richtig anfühlt bis dahin.
MfG Struck

13.11.2014, 13:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Struck
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n(\sum\limits_{i=1}^n (aibi - aibk - akbi + {\color{red}aibk}) \end{eqnarray*}$

Fehler: Da muss $\begin{eqnarray*} {\color{red}a_kb_k} \end{eqnarray*}$ stehen, in LaTeX-Code a_kb_k (also Unterstriche _ für Indizes, solltest du bitte auch verwenden!).

13.11.2014, 13:29

Struck

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Ahh Vielen Dank.
Ist der Ansatz denn soweit richtig, oder geht man da anders heran?

13.11.2014, 13:31

HAL 9000

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Ist schon Ok.

13.11.2014, 13:39

Struck

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Hm.. ich bin jetzt soweit, weiß aber wieder nicht, wie man weiter machen soll..
Hast du einen Tipp, was ich umstellen muss oder bedenken?

13.11.2014, 13:40

HAL 9000

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Jeden Summanden in eine eigene Doppelsumme abspalten, und diese vier Doppelsummen dann jeweils vereinfachen.

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13.11.2014, 14:11

Struck

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Also ich hab jetzt alles einmal aufgeschrieben und das ergibt sowas:
$\begin{eqnarray*} <br /> (a_1b_1 - a_1b_1 - a_1b_1 + a_1b_1) + (a_2b_2 - a_2b_1 - a_1b_2 + a_1b_1) + ... + (a_nb_n - a_nb_1 - a_1b_n+a_1b_1) \\<br /> <br /> (a_1b_1 - a_1b_2 - a_2b_1 + a_2b_2) + (a_2b_2 - a_2b_2 - a_2b_2 + a_2b_2) + ... + (a_nb_n - a_nb_2 - a_2b_n+a_2b_2) \\<br /> .\\<br /> .\\<br /> .\\<br /> <br /> (a_1b_1 - a_1b_n - a_nb_1 + a_nb_n) + (a_2b_2 - a_2b_n - a_nb_2 + a_nb_n) + ... + (a_nb_n - a_nb_n - a_nb_n+a_nb_n)<br /> \end{eqnarray*}$
Was soll ich da jetzt tun, bzw wie vereinfachen? :/

13.11.2014, 14:27

Struck

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Kann ich jetzt einfach die Summe der rechten Seite der Gleichung auflösen? Ich denke dann wird das klar, habs aber noch nicht probiert.

13.11.2014, 14:55

HAL 9000

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Ich hatte das eigentlich so gemeint:

$\begin{align*} \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^n (a_ib_i - a_ib_k - a_kb_i + a_kb_k) = \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^n a_ib_i - \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^n a_ib_k - \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^n a_kb_i + \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^n a_kb_k \end{align*}$

In der ersten Summe liegt beim Summanden keine Abhängigkeit von $\begin{align*} k \end{align*}$ vor, in der letzten keine von $\begin{align*} i \end{align*}$ . Das bedeutet was?

In den mittleren beiden Summen kann man ja den Summanden klar faktorisieren in einen nur von $\begin{align*} i \end{align*}$ und einen nur von $\begin{align*} k \end{align*}$ abhängigen Faktor, was weitere Vereinfachungen ermöglicht.

13.11.2014, 15:26

Struck

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Gilt das:
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i = (\sum\limits_{k=1}^n a_ib_i) + (\sum\limits_{i=1}^n a_ib_i)<br /> \end{eqnarray*}$
?

13.11.2014, 15:35

HAL 9000

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Nein!!!

geschockt

$\begin{align*} \sum_{i=1}^n a_ib_i \end{align*}$ ist bzgl. $\begin{align*} k \end{align*}$ eine Konstante, bei der Summation $\begin{align*} \sum_{k=1}^n \end{align*}$ wird also $\begin{align*} n \end{align*}$ -mal dasselbe summiert - es folgt

$\begin{align*} \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^n a_ib_i = n\cdot \sum_{i=1}^n a_ib_i \end{align*}$ .

13.11.2014, 15:48

Struck

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Sorry... aber ich versteh nicht wie man diese Doppelsumme faktorisieren kann.. also ich kann mit diesem Begriff nichts anfangen. Hilfe

Hilfe

13.11.2014, 16:00

Struck

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Ich hab jetzt einfach mal die beiden Doppelsummen in der Mitte "ausgeschrieben" mit der Pünktchenschreibweise und kam dann auf das Ergebnis zusammengefasst:
$\begin{eqnarray*} <br /> -2(a_1b_1+a_2b_1+a_1b_2+ ....+a_nb_n)<br /> = -2(a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)<br /> \end{eqnarray*}$
Damit kann man jeweils wieder 2 Summen schreiben die dann so aussehen: $\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=1}^n a_k \sum\limits_{k=1}^n b_k <br /> \end{eqnarray*}$
oder?

13.11.2014, 16:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von Struck
aber ich versteh nicht wie man diese Doppelsumme faktorisieren kann

Davon habe ich auch nicht gesprochen, sondern nur von "Summanden faktorisieren". Und das heißt nichts weiter als "in eine Produkt zerlegen", oben also in ein Produkt von einem Faktor, der nur von $\begin{align*} i \end{align*}$ und einen Faktor, der nur von $\begin{align*} k \end{align*}$ abhängt. Da ist bei $\begin{align*} a_ia_k \end{align*}$ nichts zu tun, denn es steht praktisch schon da! unglücklich

unglücklich

Ich mag diese Art Ausreden, wo ein kleines Wort als Anlass genommen wird, die Arbeit einzustellen ("Faktorisierung? Kenne ich nicht, erklär das erstmal, sonst mach ich hier nicht weiter!"). Zum Kotzen

Kotzen

diese Verweigerungshaltung - ich frage mich, wer hier die Aufgabe lösen will oder muss. unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Struck
Ich hab jetzt einfach mal die beiden Doppelsummen in der Mitte "ausgeschrieben" mit der Pünktchenschreibweise und kam dann auf das Ergebnis zusammengefasst:
$\begin{eqnarray*} <br /> -2(a_1b_1+a_2b_1+a_1b_2+ ....+a_nb_n)<br /> = -2(a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)<br /> \end{eqnarray*}$
Damit kann man jeweils wieder 2 Summen schreiben die dann so aussehen: $\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=1}^n a_k \sum\limits_{k=1}^n b_k \end{eqnarray*}$
oder?

OK, die ...-Schreibweise liegt dir eher. Ja, das Ergebnis stimmt - man kriegt es aber auch mit Summensymbol
ohne diese Rosskur.

13.11.2014, 16:36

Struck

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Verzeihung..so sollte es nicht klingen unglücklich

unglücklich

Kann ich es denn auch so lösen, wie in meinem letzten Beitrag? Oder ist das dann nicht Allgemein genug?

13.11.2014, 16:37

Struck

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Ok erstmal Dankeschön für deine Hilfe.. ich werde mal noch den anderen weg mit dem Faktorisieren probieren.

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