Zeige: Lebesgue-Nullmenge

13.11.2014, 23:00

danooh

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Zeige: Lebesgue-Nullmenge

Meine Frage:
Guten Abend,

ich sitze an folgender Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} M \subset \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$
höchstens abzählbar viele Häufungspunkte besitzt.
Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Nullmenge (Lebesgue-Nullmenge) ist.

Meine Ideen:
Meine Ideen:
- Jede abzählbare Teilmenge des $\begin{eqnarray*} R^{n} \end{eqnarray*}$ ist eine Nullmenge
- Jede abzählbare Vereinigung von Nullmengen ist eine Nullmenge
- ist $\begin{eqnarray*} N \subset M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist eine Nullmenge, so ist $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Nullmenge

Außerdem habe ich mir überlegt, dass eine Menge ohne HP höchstens abzählbar sein kann.

Ich hatte vor meine Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ in abzählbare Teilmengen zu
zerlegen, jedoch bereitet es mir Probleme, dass in jeder Umgebung eines
Häufungspunktes unendlich viele Elemente liegen.

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Viele Grüße
Daniel

13.11.2014, 23:40

Guppi12

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Hallo,

es ist leichter, zu zeigen, dass für vorgegebens $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ das Maß der Menge kleiner ist, als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ . Wähle also $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ . Versuche jetzt, die Häufungspunkte von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ durch Umgebungen zu überdecken, die insgesamt nur ein Maß von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ haben. Fällt dir dazu was ein? Wenn du das hast, was ist dann mit dem Teil von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , der nicht von diesen Bällen abgedeckt wird?

13.11.2014, 23:51

danooh

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Ich versuche es mal:
Seien $\begin{eqnarray*} a_{1},...,a_{n} \end{eqnarray*}$ meine HP von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

zu $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ seien $\begin{eqnarray*} B(a_{i}) \end{eqnarray*}$ meine Umgebungen der HP.
Und $\begin{eqnarray*} \lambda(\bigcup B(a_{i}))=\epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ohne diese Bälle besteht also nur aus Punktmengen (=Nullmenge).

Aber wie komme ich jetzt dazu, dass das gesamte M Nullmenge ist verwirrt

verwirrt

PS: Da offenbar $\begin{eqnarray*} M\subset (M\cup B(a_{i})) \end{eqnarray*}$ folgt
$\begin{eqnarray*} \lambda(M)\ \leq \lambda (M\cup B(a_{i}) ) \end{eqnarray*}$

13.11.2014, 23:57

Guppi12

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Naja, jetzt hast du aber nur endlich viele Häufungspunkte Augenzwinkern

Augenzwinkern

Abzählbar viele dürfen es ja durchaus sein. Die Umgebungen um die Häufungspunkte dürfen natürlich nicht alle das gleiche Lebesguemaß haben, denn sonst hätten sie ja insgesamt unendliches Maß. Das Maß von $\begin{eqnarray*} U(a_i) \end{eqnarray*}$ muss also von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ abhängen und möglichst mit steigendem $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ kleiner werden. Wie bekommen wir das hin?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ohne diese Bälle besteht also nur aus Punktmengen (=Nullmenge).

Mir ist der Begriff "Punktmenge" nicht geläufig. Was genau meinst du damit?

14.11.2014, 00:33

danooh

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Zitat:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ohne diese Bälle besteht also nur aus Punktmengen (=Nullmenge).

Mir ist der Begriff "Punktmenge" nicht geläufig. Was genau meinst du damit?

Vielleicht war es etwas ungünstig ausgedrückt:
$\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ohne diese Bälle ist disjunkte Vereinigung einelementiger Mengen.

Ich könnte $\begin{eqnarray*} \lambda(U(a_{i}))=\frac{1}{i^2} \end{eqnarray*}$
Damit wäre die Summe aller $\begin{eqnarray*} \lambda(U(a_{i})) \end{eqnarray*}$ endlich.

14.11.2014, 00:37

Guppi12

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ohne diese Bälle ist disjunkte Vereinigung einelementiger Mengen.

Naja, das ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ selber aber ja auch. Man kann jede Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ schreiben als $\begin{eqnarray*} X = \bigcup_{x\in X}\{x\} \end{eqnarray*}$ . Was also ist hier anders als bei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ selbst?

Dein Ansatz für die Maße der Umgebungen geht schon in die richtige Richtung. Wenn wir die aber alle zusammenaddieren, kommt ja $\begin{eqnarray*} \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$ heraus und nicht $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ . Können wir da vielleicht noch etwas drehen? Mal nebenbei: Ist überhaupt sichergestellt, dass es Umgebungen mit beliebigen vorgegebenem Lebesguemaß gibt?

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14.11.2014, 00:48

danooh

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$\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ohne die Bälle (also ohne HP) ist abzählbar.
Und damit ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ohne die Bälle eine Nullmenge.

Hmm... evtl. $\begin{eqnarray*} \lambda(U(a_{i}))= \frac{6*\epsilon}{i^2*\pi^2} \end{eqnarray*}$

Und ja es ist sichergestellt, dass Teilmengen mit vorgegebenem Maß existieren.
Das haben wir letzte Woche gezeigt.

Für jedes $\begin{eqnarray*} 0\leq \alpha \leq \lambda(A) \end{eqnarray*}$ ex. messbare Menge $\begin{eqnarray*} A_{\alpha}\subset A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda(A_{\alpha})=\alpha \end{eqnarray*}$

14.11.2014, 01:00

Guppi12

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Ja, das wäre eine Möglichkeit Freude

Freude

Eine andere Möglichkeit wäre z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{2^i} \end{eqnarray*}$ . Die Aussage, die du zitiert hast, reicht dafür aber nicht ganz, denn dort steht ja nicht, dass $\begin{eqnarray*} A_{\alpha} \end{eqnarray*}$ eine offene Menge ist. Du kannst eine solche Umgebung aber einfach angeben. Ein $\begin{eqnarray*} n- \end{eqnarray*}$ dimensionaler offener Würfel um $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ mit Kantenlänge $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ hat ja ein Volumen von $\begin{eqnarray*} s^n \end{eqnarray*}$ . Wenn man jetzt $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ geeignet wählt ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.11.2014, 01:12

danooh

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Ich will also die $\begin{eqnarray*} s_{i} \end{eqnarray*}$ so wählen, dass $\begin{eqnarray*} \lambda (U(a_{i})) =\frac{\epsilon}{2^i} \end{eqnarray*}$ ?

Wie wär's mit $\begin{eqnarray*} s_{i} = \sqrt[n]{\frac{\epsilon}{2^i} } \end{eqnarray*}$ ?

14.11.2014, 01:16

Guppi12

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Du brauchst das ja nun nicht explizit hinschreiben. Solange dir klar ist, wie es geht(das ist es doch oder?) kannst du es ja in deinem Aufschrieb dann begründen. Ich wollte eigentlich nur mal darauf aufmerksam machen, dass man sich darüber mal Gedanken gemacht haben sollte.

Edit: Ja, richtig.

14.11.2014, 01:21

danooh

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Ok. Im weiteren Beweis gehe ich doch nun folgendermaßen vor:

$\begin{eqnarray*} \lambda (M) = \lambda(M') + \lambda(U(a_{i})) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} M' \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ohne die Bälle ist.
Da $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig, wird $\begin{eqnarray*} \lambda(U(a_{i})) \end{eqnarray*}$ also
beliebig klein. Und daraus folgere ich $\begin{eqnarray*} \lambda (M) = \lambda(M') = 0 \end{eqnarray*}$

Oder fehlt mir noch etwas? Tue mich wirklich noch schwer mit dem Lebesgue-Maß :/

14.11.2014, 01:29

Guppi12

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lambda (M) = \lambda(M') + \lambda(U(a_{i})) \end{eqnarray*}$

Das stimmt ja nun nicht. Zum einen ist hier nicht klar, was $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ sein soll, zum anderen haben wir so ja nur einen Ball erwischt. Du meinst etwas anderes. Außerdem muss da nicht unbedingt Gleichheit herrschen. Du bekommst $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ , was aber ja völlig genügt. Der Rest stimmt.

14.11.2014, 01:38

danooh

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Tut mir Leid.
Ich meinte natürlich $\begin{eqnarray*} \lambda(M) \leq \lambda(M') + \lambda ( \bigcup \limits_{i=1}^\infty U_{\epsilon}(a_{i})) \end{eqnarray*}$

14.11.2014, 01:39

Guppi12

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Jetzt hast du alles Freude

Freude

14.11.2014, 01:41

danooh

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Ich danke dir ! Freude

Freude

Wink

14.11.2014, 08:12

tmo

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Kleine Nebenbemerkung:

Ist H die abzählbare Menge der Häufungspunkte, so ist $\begin{align*} M = H \cup \bigcup_{n\in \mathbb N} (M\setminus H) \cap [-n,n] \end{align*}$ abzählbar, da $\begin{align*} (M\setminus H) \cap [-n,n] \end{align*}$ wegen Bolzano-Weierstraß endlich ist.

Mit $\begin{align*} [-n,n] \end{align*}$ ist hier (im Mehrdimensionalen) natürlich der Abschluss von $\begin{align*} B_n(0) \end{align*}$ gemeint.

14.11.2014, 09:32

Guppi12

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Hallo tmo,

da kann ich so nicht zustimmen. Ob die Häufungspunkte selbst in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ enthalten sind oder nicht, ändert nicht unbedingt etwas daran, dass es Häufungspunkt sind. Dass $\begin{eqnarray*} (M\setminus H)\cap [-n,n] \end{eqnarray*}$ endlich ist, kannst du also so nicht schließen.

14.11.2014, 09:46

tmo

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Ja, war natürlich Quatsch unglücklich

unglücklich

Man muss tatsächlich offene Bälle um die Häufungspunkte rausnehmen. Hatte irgendwie gehofft, dass man das auch ohne diesen technischen Epsilontik-Krams leicht sieht, aber wird wohl nix.

Fällt dir spontan eine Menge mit abzählbar vielen Häufungspunkten ein, die überabzählbar ist? Ich kenne sowieso nur die Cantor-Menge als überabzählbare Nullmenge und die tut's schonmal nicht Big Laugh

Big Laugh

Wahrscheinlich kann man sich auf Basis der Cantor-Menge irgendetwas basteln, aber hab nicht die Muse da drüber nachzudenken.

14.11.2014, 09:56

Guppi12

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Spontan nicht, aber ich bin auch gerade am überlegen. Leider geht es mir in dieser Hinsicht:

Zitat:

Ich kenne sowieso nur die Cantor-Menge als überabzählbare Nullmenge

genauso wie dir Big Laugh

Big Laugh

14.11.2014, 21:25

Guppi12

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Du hast Recht, eine solche Menge ist tatsächlich abzählbar. Angenommen es gäbe überabzählbares $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mit höchstens abzählbar vielen Häufungspunkten. Sei $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ die Menge der Häufungspunkte. Dann ist $\begin{eqnarray*} M\setminus H \end{eqnarray*}$ überabzählbar. Wir finden zu jedem Punkt $\begin{eqnarray*} x\in M\setminus H \end{eqnarray*}$ eine offene Umgebung $\begin{eqnarray*} U(x) \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} U(x)\cap M = \emptyset \end{eqnarray*}$ . Halbieren wir den Radius einer jeder dieser Umgebungen, so gilt sogar $\begin{eqnarray*} U(x) \cap U(y) =\emptyset \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x,y\in M\setminus H \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$

Damit haben wir aber überabzählbar viele nicht leere offene paarweise disjunkte Mengen gefunden.

In jeder dieser Mengen finden wir eine rationale Zahl. Widerspruch.

Edit: Vereinfacht.

15.11.2014, 08:05

tmo

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Ja, am Ende war es dann doch recht einfach. Beruhigend, dass die Intuition, dass solch eine Menge abzählbar sein muss, gestimmt hat smile

smile

15.11.2014, 12:47

RavenOnJ

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RE: Zeige: Lebesgue-Nullmenge
Könnte man in der Aufgabe nicht auch ganz anders (einfacher) argumentieren, dass im Fall $\begin{align*} \lambda(M)>0 \end{align*}$ die Menge $\begin{align*} M \end{align*}$ eine Teilmenge enthalten muss, die kartesisches Produkt von Intervallen ist. Eine solche Teilmenge hätte aber überabzählbar viele Häufungspunkte. Widerspruch.

Es läuft also darauf hinaus: Gibt es Mengen mit Lebesgue-Maß größer 0, die keine solchen aus Intervallen aufgebauten Quader enthalten?

15.11.2014, 13:15

Guppi12

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Hallo,

deine Aussage ist aber falsch. Von daher wird das auch nicht einfacher zu zeigen sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.11.2014, 14:03

RavenOnJ

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Welche Aussage ist falsch?

15.11.2014, 14:05

Guppi12

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RE: Zeige: Lebesgue-Nullmenge
Diese hier:

Zitat:

Original von RavenOnJ
dass im Fall $\begin{align*} \lambda(M)>0 \end{align*}$ die Menge $\begin{align*} M \end{align*}$ eine Teilmenge enthalten muss, die kartesisches Produkt von Intervallen ist.

Vorausgesetzt, du meinst ein nichtentartetes Intervall.

15.11.2014, 16:17

RavenOnJ

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RE: Zeige: Lebesgue-Nullmenge
OK, alles klar, war ein Denkfehler.

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