Wahrscheinlichkeitsraum bestimmen

Neue Frage »

Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsraum bestimmen
Hey Freunde,

ich habe mir Probleme mit folgender Aufgabe:


In der Universitätsmensa beobachten Sie folgendes Zufallsexperiment. An den Aufladestationen für die Studicard wird ein Bargeldschein mit Wahrscheinlichkeit angenommen. Wird der Schein abgelehnt, so kann ein neuer Versuch gestartet werden, in welchem derselbe Schein wiederum mit Wahrscheinlichkeit akzeptiert wird. Die Anzahl an vorangehenden Fehlversuchen beeinflusst die Annahmewahrscheinlichkeit im aktuellen Versuch also nicht. Sie interessieren sich nun für die Wahrscheinlichkeit, dass der Aufladevorgang im -ten Versuch erstmals erfolgreich war.


a) Modellieren Sie den Sachverhalt durch einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum.


Der Warhscheinlichkeitsraum besteht ja aus 3 Komponenten.



Ich habe gerade Schwierigkeiten den Grundraum zunächst einmal zu formulieren.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsraum bestimmen
Naja, gesucht ist doch die Wahrscheinlichkeit, dass der Aufladevorgang im k-ten Versuch erfolgreich ist, wie sieht also der Wahrscheinlichkeitsraum aus? Und wie hoch ist diese Wahrscheinlichkeit für k=1,2,3..? Kannst du daraus eine allgemeine Formel herleiten?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

1) Wenn man wirklich nur die Wahrscheinlichkeit zu dem gefragten Ereignis bestimmen will, dann kann man den W-Raum so klein zuschneiden, dass die Zufallsgröße

... Versuchsnummer des ersten erfolgreichen Aufladevorgangs

gerade so definiert (d.h. messbar) ist, das wäre dann und dort einfach usw.


2) Will man allerdings noch weitere Ereignisse rund um die Aufladestation beschreiben, dann bietet sich ein großzügigerer Ansatz an: Das wäre



Dabei beschreibt einen Erfolg im -ten Aufladeversuch, bei Misserfolg =0 .


In dem zweiten Modell ist allerdings die Beschreibung von Sigma-Algebra und Wahrscheinlichkeitsmaß doch deutlich schwieriger. Augenzwinkern
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten smile

Wieso ist denn mein nicht die Potenzmenge von ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei 1) schon, bei 2) nicht.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Warum steht in 1) nicht ?

Ich verstehe nicht warum gilt.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathelover
Warum steht in 1) nicht ?

Diesen Vorschlag kann man nur als groben Unfug bezeichnen.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir erklären wieso gilt, anstatt mein Unwissen in Vordergrund zu halten?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

LESEN:

Zitat:
Original von HAL 9000

... Versuchsnummer des ersten erfolgreichen Aufladevorgangs

gerade so definiert (d.h. messbar) ist, das wäre dann und dort einfach

Wenn ich den W-Raum so einfach wähle, dass die Zufallsgröße einfach dem Elementarereignis entspricht, dann müssen die möglichen Werte der Zufallsgröße 1,2,3,... auch als Elementarereignisse möglich sein.

Und was dein verärgerter Hinweis mit der "Unwissenheit" betrifft: ist einfach so abgrundtief sinnlos, es ist ja nicht mal eine Menge - ich kann den Vorschlag immer noch nicht fassen. unglücklich
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweiß mit dem Lesen.

Das war nicht verärgert. Ich finde einfach nur, dass DEIN KOMMENTAR an der Stelle sehr unnötig ist, da es uns nicht wirklich weiter bringt.

Und tut mir leid dass ich die Mengenklammern vergessen habe Big Laugh
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bin ich weg hier: Mit solchen Sensibelchen habe ich im Board nur schlechte Erfahrungen gemacht.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso denn jetzt beleidigt? Big Laugh

Ich wollte hier nur Hilfe und nicht wegen meiner falschen Denkweise oder falschen Ideen blöd angemacht werden.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathelover
Und tut mir leid dass ich die Mengenklammern vergessen habe Big Laugh
Dann wäre aber , d.h. dein Wahrscheinlichkeitsraum besteht nur aus einem einzigen Element, was auch nicht wirklich sinnvoll ist.

Ist dir nun klar, warum gilt? Wie hoch ist diese Wahrscheinlichkeit für ..? Kannst du daraus eine allgemeine Formel herleiten?
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich sage dir mal wie ich es verstanden habe und du kannst mir dann sagen ob das stimmt.

In der Aufgabe heißt es ja: Sie interessieren sich nun für die Wahrscheinlichkeit, dass der Aufladevorgang im k-ten Versuch erstmals erfolgreich war.

D.h. ja dann, dass wir eben k Versuche haben und in irgendeinem k, soll die Aufladung erfolgreich sein, und genau dieses k wollen wir dann festhalten.

Dann ergibt sich ja, weil wir eben positive Versuche betrachten gleich die Menge der . Also ?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
D.h. ja dann, dass wir eben k Versuche haben und in irgendeinem k, soll die Aufladung erfolgreich sein, und genau dieses k wollen wir dann festhalten.
ist etwas unglücklich formuliert. Wir versuchen es ja solange bis es zum ersten Mal klappt, d.h. der letzte Versuch muss eben erfolgreich sein und die Versuche davor sind dementsprechend fehlgeschlagen. Also nichts mit in "irgendeinem k, soll die Aufladung erfolgreich sein" sondern bei k Versuchen eben genau um k-ten Versuch.

Wie sieht nun die Wahrscheinlichkeit für k=1,2,3.. aus?
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das meinte ich eigentlich auch.

Die Wahrscheinlichkeit für k=1, würde der heißen, dass wir bei dem ersten Versuch ein Erfolg hätten. Für k=2, beim zweiten Versuch. Für k=3 bei dem dritten Versuch. Für k=n bei dem n-ten Versuch.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathelover
Genau das meinte ich eigentlich auch.

Die Wahrscheinlichkeit für k=1, würde der heißen, dass wir bei dem ersten Versuch ein Erfolg hätten. Für k=2, beim zweiten Versuch. Für k=3 bei dem dritten Versuch. Für k=n bei dem n-ten Versuch.
Ja, und wie hoch sind da nun die Wahrscheinlichkeiten?
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, da beginnt das Problem bei mir.

Das erste was ich mich frage ist, ob ich hier das Laplace Experiment für die Wahrscheinlichkeit verwenden darf. Die Voraussetzung der Abzählbarkeit wäre ja erfüllt für

Kannst du mir bitte einen Tipp geben.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Du darfst es natürlich nicht einfach so verwenden ohne es zu begründen. unglücklich Die Abzählbarkeit genügt nicht, so existiert auf einem abzählbar unendlichen Wahrscheinlichkeitsraum keine Gleichverteilung, und dieser ist offebar unenedlich.

Du willst mir hier also allen Ernstes weißmachen, dass du aus dem vorgegebenen Text
Zitat:
An den Aufladestationen für die Studicard wird ein Bargeldschein mit Wahrscheinlichkeit angenommen.
nicht in der Lage bist, die Wahrscheinlichkeit dafür zu entnehmen, beim ersten Versuch erfolgreich zu sein?
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ja klar.

Also für k=1 gilt:


für k=2 gilt:


für k=3 gilt:


für k=n gilt:
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathelover
Achso ja klar.

Also für k=1 gilt:

Nein! Falsch! Beim ersten Versuch hast du keinen Fehlversuch!

Sonst ist der Ansatz aber richtig, nun noch zeigen dass dies auch tatsächlich eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Ja beim ersten Versuch ist natürlich die Wahrscheinlichkeit = p.

Stimmt also die Formel für allgemeine k: ?

EDIT: Oder muss es heißen: ?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

In der Aufgabenstellung steht ganz eindeutig:
Zitat:
Sie interessieren sich nun für die Wahrscheinlichkeit, dass der Aufladevorgang im -ten Versuch erstmals erfolgreich war.
Damit solltest du dir diese Frage selbst beantworten können.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn für k=1 gilt:


für k=2


für k=3



Dann muss doch die allgemeine Formel lauten:


Wenn wir jetzt k = 1 setzen, ergibt sich:
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Nun noch zeigen dass dies auch tatsächlich eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt zu untersuchen sind folgende Axiome:

P1:

P2:

P3:
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Auch das ist soweit richtig. Kannst du dies nun alleine oder willst du nun nach jedem Schritt nachfragen?

Nachtrag: Beachte dass das was du da oben ausgerechnet hast, die Zähldichte ist, nicht die eigendliche Wahrscheinlichkeitsfunktion (diese erhältst du durch Summierung über die Einzelereignisse).
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuchs mal zunächst alleine Big Laugh

Danke sehr Freude
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Nachtrag: Beachte dass das was du da oben ausgerechnet hast, die Zähldichte ist, nicht die eigendliche Wahrscheinlichkeitsfunktion (diese erhältst du durch Summierung über die Einzelereignisse).
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

P1 und P2 habe ich hinbekommen.
Bei P3 habe ich Probleme.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathelover
P1 und P2 habe ich hinbekommen.
Bei P3 habe ich Probleme.
Naja, wenn du die Zähldichte gegeben hast dann ist P ja nichts weiter als die Summe über die Elementarereignisse, daraus folgt dies direkt. Für Zähldichten ist nur die Summe entscheidend, und dass die Wahrscheinlichkeiten in [0,1] liegen.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich würde gerne wissen, wie ich

anderst aufschreiben kann, ich muss ja ein Ausdruck haben, bei dem ich dann die Summe der Wahrscheinlichkeitsfunktion ausklammern kann.

EDIT: Ich habs, habe folgendes Axiom verwendet:


Vielen Dank für deine Hilfe, jetzt habe ich eine bessere Orientierung smile
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe das Problem nicht. ist so Unsinn, es muss da
hin. Schau dir doch einfach mal an was eine Zähldichte ist und was deren Eigenschaften sind.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso Unsinn?
Die Eigenschaft P3 ist die -Additivität und ist bei uns im Skript definiert als:

Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathelover
Wieso Unsinn?
Die Eigenschaft P3 ist die -Additivität und ist bei uns im Skript definiert als:

Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathelover
Wieso Unsinn?
Die Eigenschaft P3 ist die und ist bei uns im Skript definiert als:

So ist das sicher nicht definiert, wenn schon dann


Aber mit der Zähldichte brauchst du das eigendlich nicht zu überprüfen, daher nochmal der Hinweis, dir doch mal anzuschauen wie diese definiert ist.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »