Beweis U1,U2 Vektorräume

15.11.2014, 16:20

Fireball

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Beweis U1,U2 Vektorräume

Meine Frage:
Hallo liebe Forumsmitglieder :-)
Es tut mir wirklich Leid, euch die Frage zu stellen, aber
ich war in der letzten Mathevorlesung nicht präsent und habe die Thematik des Vektorraumes nicht ganz begriffen. Eigentlich so ziemlich gar nicht. Und wir haben einen Übungszettel als wöchentliche Hausaufgabe vorgelegt bekommen. Ich habe dabei aber das Problem, dass ich die Beweise nicht durchführen kann, wenn ich das Ganze nicht vollständig verstanden habe.
Ich bräuchte wenigstens etwas Hilfe bei der a, die wie folgt lautet:

a) Es seien U1 $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ U2 $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ^n zwei Vektorräume. Zeigen Sie, dass U1 $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ U2 genau dann ein Vektorraum ist, wenn U1 c U2 und U2 c U1

Meine Ideen:
Meine eigene Idee ist, dass man vielleicht einen Widerspruchsbeweis veranstaltet. Man muss hier ja beide Richtungen beweisen, da hier eine Verknüpfung mit genau dann ist, oder ? Ich hätte das jetzt so gemacht:

Voraussetzung: Es seien U1 $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ U2 $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ^n zwei Vektorräume.
Annahme: U1 nicht $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ U2 und U2 nicht $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ U1
Beweis:
Müsste ich hier jetzt die ganzen Axiome durchführen?´Und wenn ja, wie könnte ich anfangen ?
Vielen Dank an euch smile

smile

15.11.2014, 16:25

10001000Nick1

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RE: Beweis U1,U2 Vektorräume

Zitat:

Original von Fireball
a) Es seien U1 $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ U2 $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ^n zwei Vektorräume. Zeigen Sie, dass U1 $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ U2 genau dann ein Vektorraum ist, wenn U1 c U2 und U2 c U1

Kannst du die Aufgabe nochmal korrekt aufschreiben? Ich bin mir nämlich ziemlich sicher, dass das so nicht da stand (und wenn doch, kann ich dir ein Gegenbeispiel nennen).

15.11.2014, 16:31

Fireball

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a) Es seien U1 $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ U2 aus dem R^n zwei Vektorräume. Zeigen Sie
U1 $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ U2 ist genau dann ein Vektorraum, wenn U1 $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ U2 oder U2 $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ U1

Sorry, hab die c vertauscht gehabt Big Laugh

Big Laugh

15.11.2014, 16:37

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Fireball
a) Es seien U1 $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ U2 aus dem R^n zwei Vektorräume.

Das macht immer noch keinen Sinn. $\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ ist nur eine einzige Menge. Wie sollen das zwei Untervektorräume sein? Besser wäre "Seien $\begin{eqnarray*} U_1, U_2 \subseteq \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ zwei Vektorräume..."

Die eine Richtung des Beweises ist trivial.
Für die andere Richtung kannst du einen Widerspruchsbeweis verwenden.

15.11.2014, 16:47

Fireball

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Ich hab doch gar nicht Untervektorräume geschrieben ? smile

smile

Ja, das Problem ist, dass ich ein Beispiel dabei bräuchte, wie man da weiter fortgeht, weil ich wie gesagt bei der Vorlesung nicht präsent sein konnte und das Skript irgendwie noch nicht online ist...
Ich bin in dem Thema noch nicht so ganz Zuhause :/
Liebe Grüße

15.11.2014, 17:06

10001000Nick1

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Ein Untervektorraum eines Vektorraums ist einfach eine Teilmenge dieses Vektorraums, die mit derselben Addition und Skalarmultiplikation wieder ein Vektorraum ist. D.h. $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ sind hier Untervektorräume von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ . Aber wenn du diesen Begriff noch nicht kennst bzw. ihr das in der Vorlesung noch nicht hattet, dann bleib ruhig beim Begriff "Vektorraum". smile

smile

Sind dir die Eigenschaften eines Vektorraums bekannt (u.a. Abgeschlossenheit unter Addition und Skalarmultiplikation)?

Wir fangen mal mit der einfachen Richtung an: $\begin{eqnarray*} U_1\subseteq U_2 \text{ oder } U_2\subseteq U_1 \Rightarrow U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ ist ein Vektorraum.
Nimm zuerst an, dass $\begin{eqnarray*} U_1\subseteq U_2 \end{eqnarray*}$ . Was kannst du dann über $\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ sagen? Und ist das dann ein Vektorraum?
Und genauso geht der Fall $\begin{eqnarray*} U_2\subseteq U_1 \end{eqnarray*}$ .

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15.11.2014, 17:38

Fireball

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Danke dir bis hierhin schonmal ! smile

smile

)
Wenn U1 $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ U2 , dann kommt jedes Element von U1 doch auch in U2 vor? Und bei der Vereinigung zweier Mengen hat man das ja auch. Wenn man dieses Mengendiagramm verschriftlicht, vereinigen sich die beiden Mengen ja in einem Bereich, wo die Elemente aufgeführt sind, die sich in beiden Vektorräumen befinden..
Das ist ja die Überlegung dabei, oder ?
Bei einem Vektorraum muss doch die skalare Multiplikation gültig sein und auch das Kommutativ- und Assoziativgesetz oder?
Vielen Dank smile

smile

) !

15.11.2014, 17:43

10001000Nick1

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Schön mit Worten beschrieben, aber noch hast du mir nicht gesagt, was dann $\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ ist; du kannst die Menge konkret angeben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.11.2014, 18:09

Fireball

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Die Menge in Bezug auf diese konkret angeben kann ich nicht. Ich weiß nur, dass der Vektorraum (zumindest) in R^3 von den Einheitsvektoren aufgespaltet wird.
Die Menge konkret angeben ,kann ich nicht bei U1 und U2... Oder geht es darum, dass man einen Buchstaben voraussetzt, der die Menge angibt, zum Beispiel man nehme E{e1,e2,....ek)
Wie gesagt, bin noch gar nicht im Thema drinne.:/ Sorry hierfür..

15.11.2014, 18:20

10001000Nick1

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Die Frage, was $\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ ist, wenn $\begin{eqnarray*} U_1\subseteq U_2 \end{eqnarray*}$ , hat noch gar nichts mit Vektorräumen zu tun, sondern mit einfacher Mengenlehre.

Wenn man sich das in einem Mengendiagramm (auch Venn-Diagramm genannt) veranschaulicht, dann sieht das so aus:
[attach]36087[/attach]

Dabei ist $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ das rot schraffierte und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ das grün schraffierte.
Man sieht jetzt, dass $\begin{eqnarray*} U_1\subseteq U_2 \end{eqnarray*}$ ist.
Das blaue ist dann $\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ . Fällt dir jetzt etwas auf, was man über die blaue Menge sagen kann? (Es müsste dir jetzt sofort ins Auge springen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

15.11.2014, 18:41

Fireball

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Dass das blauschraffierte das Gesamte ist. Also alle Elemente von U1 und U2 zusammen. Somit ist die Teilmenge jeweils enthalten. Oder worauf wolltest du genaustens hinaus? Das grünschraffierte ist sowohl in U1 C U2 als auch in dem Kreis mit U1 U U2. Ganz genauso wie das blauschraffierte (oben erwähnt).
Wenn ich falsch liege, bitte entschuldigen Big Laugh

Big Laugh

15.11.2014, 18:44

10001000Nick1

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Ich wollte darauf hinaus, dass $\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2=U_2 \end{eqnarray*}$ ist.

16.11.2014, 11:23

Fireball

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Ach so. Vielen Dank für deine Hilfe.
Ich bräuchte nur mathematisch irgendwie einen Anschubser, da ich noch Erstsemestler bin und nicht weiß, wie man einen Beweis bei Vektorräumen aufschreibt, da ich ja auch mehrere Axiome denke mal überprüfen muss. Also ist das mein erster auf dem Gebiet... unglücklich

unglücklich

Dankeschön!

16.11.2014, 11:41

10001000Nick1

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Bei der Richtung bei der wir jetzt gerade sind, brauchst du überhaupt keine Axiome überprüfen.
Ich fasse nochmal zusammen: Wir sind gerade bei dem Fall $\begin{eqnarray*} U_1\subseteq U_2 \end{eqnarray*}$ und wollen zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum ist. Jetzt haben wir aber festgestellt, dass $\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2=U_2 \end{eqnarray*}$ ist. Ist das also ein Vektorraum?

16.11.2014, 12:26

Fireball

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Ich habe das ja noch nicht ganz verstanden,da ich wie gesagt nicht präsent war. Ich habe versucht, es mir selber zu erklären, aber irgendwie scheitere ich daran. Jedoch müsste es doch eigentlich ein Vektorraum sein, weil wir ja beweisen sollen, dass wenn u1 teilmenge von u2 ist und andersrum, das ein VR ist..
Wenn wir u1 U u2=u2 haben, kann ich somit auch nicht sagen, woran man erkennt , dass ein VR vorliegt. Ich glaube da liegt das basale Problem
Vielen Dank
Liebe Grüße smile

smile

16.11.2014, 12:28

10001000Nick1

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Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ Vektorräume sind; und dass $\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2=U_2 \end{eqnarray*}$ ist. Da dürfte doch die Frage nicht so schwer zu beantworten sein, ob $\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum ist.

16.11.2014, 12:42

Fireball

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Ja gut, wenn U1 und U2 Vektorräume sind, muss auch dieses Konstrukt einen Vektorraum darstellen. Die beiden Vektorräume werden ja vereinigt zu einem Vektorraum...

16.11.2014, 12:46

10001000Nick1

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Genau.
Jetzt müssen wir noch den Fall $\begin{eqnarray*} U_2\subseteq U_1 \end{eqnarray*}$ betrachten, und zeigen, dass dann wieder $\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum ist; das geht aber genauso wie eben.

16.11.2014, 12:57

Fireball

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Dankeschön! smile

smile

Also beim ersten Fall:
Z.Z: U1 $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ U2 ist Vektorraum, wenn U1 $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ U2 oder U2 $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ U1
Beweis:
U1 $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ U2 => u1 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U1 und u1 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U2 => U1 $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ U2 = U2 q.e.d.

Ich weiß nicht, ob das so richtig wäre.. ich brauch glaube noch etwas Hilfe bei der Formalia :-)

16.11.2014, 13:22

10001000Nick1

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De Teil " $\begin{eqnarray*} u_1 \in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_1 \in U_2 \end{eqnarray*}$ " solltest du besser so schreiben: "Für alle $\begin{eqnarray*} u_1\in U_1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} u_1\in U_2 \end{eqnarray*}$ ."

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