Verschoben! Distributivgesetz Gruppenkriterium

15.11.2014, 19:23

qwertz235

Distributivgesetz Gruppenkriterium

Guten Abend,
an sich ist die Aufgabe kein Problem, aber an einer Stelle hakt es.

Aufgabe: Gegeben sei $\begin{eqnarray*} V = \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit den Operationen
$\begin{eqnarray*} x\oplus y=xy \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \otimes x = x^{\lambda} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in V, \lambda\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Dass $\begin{eqnarray*} \left(V,\oplus \right) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe ist, habe ich bereits gezeigt. Doch bei dem Nachweis des Distributivgesetzes
$\begin{eqnarray*} \left(\lambda \oplus \gamma \right)\otimes x = \left(\lambda \otimes x\right)\oplus \left(\gamma \otimes x\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda,\gamma\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ habe ich ein Problem.

Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \left(\lambda \oplus \gamma \right)\otimes x = \left(\lambda\gamma \right)\otimes x = x^{\lambda \gamma } = \left(x^{\lambda}\right)^{\gamma } = \left(\lambda\otimes x \right)^{\gamma} = \gamma\otimes \left(\lambda\otimes x \right) \end{eqnarray*}$

Da weiß ich einfach nicht, wie ich zu $\begin{eqnarray*} \left(\lambda \otimes x\right)\oplus \left(\gamma \otimes x\right) \end{eqnarray*}$ umformen soll.

Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen.

Viele Grüße
Alex

16.11.2014, 01:01

RavenOnJ

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RE: Distributivgesetz Gruppenkriterium
$\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ taucht in zwei Rollen auf, einmal als Vektorraum mit der Addition $\begin{align*} \oplus \end{align*}$ und der skalaren Multiplikation $\begin{align*} \otimes \end{align*}$ . Dann aber auch als Skalarkörper mit der ganz normalen Addition und Multiplikation. Von daher gilt:
$\begin{align*} \left(\lambda + \gamma \right)\otimes x = \left(\lambda \otimes x\right)\oplus \left(\gamma \otimes x\right) \end{align*}$ , weil
$\begin{align*} \left(\lambda \otimes x\right)\oplus \left(\gamma \otimes x\right)=x^\lambda\oplus x^\gamma=x^\lambda x^\gamma= x^{\lambda+\gamma} = \left(\lambda + \gamma \right)\otimes x \end{align*}$

16.11.2014, 01:04

Che Netzer

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RE: Distributivgesetz Gruppenkriterium

Zitat:

Original von qwertz235
Aufgabe: Gegeben sei $\begin{eqnarray*} V = \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit den Operationen
$\begin{eqnarray*} x\oplus y=xy \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \otimes x = x^{\lambda} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in V, \lambda\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Das ist keine Aufgabe. Außerdem ist die Operation $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ gar nicht wohldefiniert.

16.11.2014, 01:20

RavenOnJ

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RE: Distributivgesetz Gruppenkriterium

Zitat:

Original von Che Netzer
Außerdem ist die Operation $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ gar nicht wohldefiniert.

Warum soll die nicht wohldefiniert sein? Die Vektorraumaxiome sind doch erfüllt:
S1) $\begin{align*} \lambda\otimes(x\oplus y)= \lambda\otimes(xy)= (xy)^\lambda=x^\lambda y^\lambda = (x^\lambda)\oplus(y^\lambda)=(\lambda\otimes x)\oplus(\lambda \otimes y) \end{align*}$
S2) $\begin{align*} (\lambda + \gamma)\otimes x = (\lambda\otimes x)\oplus(\gamma\otimes x) \end{align*}$ (schon gezeigt)
S3) $\begin{align*} (\lambda\cdot \gamma)\otimes x= x^{\lambda\gamma}=(x^\gamma)^\lambda=\lambda\otimes (\gamma\otimes x) \end{align*}$
S4) $\begin{align*} 1_{\mathbb R}\otimes x=x^1=x \end{align*}$

Des weiteren kann man zeigen, dass $\begin{align*} 1_{\mathbb R} \end{align*}$ das neutrale Element $\begin{align*} 0_{V} \end{align*}$ der Vektorraumaddition ist und $\begin{align*} \frac 1 x \end{align*}$ das bezüglich der Addition inverse Element zu x. Der Vektorraum muss aber wohl als $\begin{align*} V:=\mathbb R_+ \end{align*}$ definiert werden.

16.11.2014, 01:59

Che Netzer

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RE: Distributivgesetz Gruppenkriterium

Zitat:

Original von RavenOnJ
Der Vektorraum muss aber wohl als $\begin{align*} V:=\mathbb R_+ \end{align*}$ definiert werden.

Eben. Sonst wäre $\begin{eqnarray*} (V,\oplus) \end{eqnarray*}$ überhaupt keine Gruppe und man müsste etwas wie $\begin{eqnarray*} \pi\otimes(-1)=(-1)^\pi \end{eqnarray*}$ definieren.

16.11.2014, 10:18

qwertz235

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Guten Morgen,
tut mir leid, ich merke jetzt erst, dass ich die Aufgabe etwas nachlässig abgeschrieben habe. Die vollständige Aufgabenstellung lautet:

Aufgabe: Gegeben sei $\begin{eqnarray*} V = \mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ mit den Operationen
$\begin{eqnarray*} x\oplus y=xy \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \otimes x = x^{\lambda} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in V, \lambda\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie, dass V ein Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist.

Vielen Dank euch beiden für die Hilfe! Beim nächsten Mal lese ich mir die Vektorraumaxiome sorgfältiger durch.

Viele Grüße und einen schönen Sonntag noch.
Alex

16.11.2014, 11:23

RavenOnJ

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Na, da hast du ja Glück gehabt, dass du jetzt nur noch abschreiben musst.

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