R ist mager in C

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
R ist mager in C
Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte gerne wissen, warum mager in ist.

Meine Ideen:
Ich habe schon gezeigt, dass mager in ist. Dies ging so: Ang. sei mager in , dann muss gelten (nach einem Satz aus der Vorlesung) . Das innere der reellen Zahlen, sind aber die reellen Zahlen selbst. Also Widerspruch.

Nun betrachte ich das ganze auf dem top. Raum . Ich möchte zeigen, dass mager ist. Dazu muss ich zeigen, dass Vereinigung nirgends dichter Mengen ist. (Der obige Satz geht nur in eine Richtung; wenn mager dann ... )

Ich dachte mir das so:

Zunächst ist nicht dicht in , da zum Beispiel gilt.



Nun weiß ich nicht so richtig weiter. Liegt denn nirgends dicht in ???

Das würde helfen smile

Danke für die Tipps

EDIT: Es ist ja abgeschlossen in . Daher gilt: Als ist nirgends dicht in .

Eine nirgends dichte Menge ist immer mager, wegen und nirgends dicht, ist Vereinigung (endlich, also abzählbar) von nirgends dichter Menge
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Was bedeutet "mager"? verwirrt
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, sorry ich dachte das wäre bekannt.

"Die abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen nennen wir mager oder von der ersten Baire Kategorie"

Gruß
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: R ist mager in C
Mir war es jedenfalls nicht bekannt.

Zu deiner Frage:
Zitat:
Original von steviehawk
Liegt denn nirgends dicht in ???

Ja. Eine Menge ist doch genau dann eine Umgebung von , wenn eine -Kugel um enthält. Jetzt kannst du aus dieser -Kugel ein Element angeben und eine Umgebung zu diesem Element, in der keine reelle Zahl liegt. D.h. ist dann nicht dicht in der -Kugel um und damit auch nicht in .

Edit: Als Begründung könnte man auch angeben, dass das Innere des Abschlusses von in leer ist in .
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: R ist mager in C
Vielen Dank für deinen Hinweis.

Noch eine Frage, wir hatten in der Vorlesung den Satz:

In jedem Baire Raum hat eine magere menge kein Inneres;


So wie der Satz hier steht, könnte es ja auch Mengen geben, die kein Inneres haben, aber dennoch nicht mager sind.

Gilt also auch die Rückrichtung des obigen Satzes? Die hast du ja in deiner Begründung verwendet.

Gruß Stevie
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: R ist mager in C
Mirfällt gerade etwas auf:
Zitat:
Original von steviehawk
Ich habe schon gezeigt, dass mager in ist.

Da sollte doch bestimmt stehen, dass nicht mager in ist.

Baire-Räume kenne ich nicht; ob die Rückrichtung in dem Satz gilt, weiß ich nicht. Ich habe oben verwendet, dass eine Menge genau dann nirgends dicht ist, wenn das Innere vom Abschluss leer ist. Und eine nirgends dichte Menge ist natürlich auch mager.
 
 
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: R ist mager in C
Ja klar, da sollte natürlich noch ein NICHT stehen Hammer

Vielen Dank
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