Gruppen

16.11.2014, 14:28	Cudo	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen Meine Frage: Gegeben eine symm. Gruppe S2, deren Elemente die Bijektionen einer 2-elementigen Menge sind {1,2}. Die Zuordnung von Argument zu Bild ist zu verstehen als Zeile1 \|-> Zeile2. Bei a: 1 2 $\begin{eqnarray} \downarrow \downarrow \end{eqnarray}$ 2 1 $\begin{eqnarray} e = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \\ \end{pmatrix} a = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Tabelle von S2 ist $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ \| e a __________ e \| e a a \| a e a) in analoger Weise die Gruppe S3 angeben und Gruppentabelle anschreiben b) Zeigen, dass S3 nicht abelsch ist. Meine Ideen: Die Gruppen sollten $\begin{eqnarray} <br /> a= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix} <br /> b= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ \end{pmatrix} <br /> c= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix} <br /> d= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} <br /> e= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix} <br /> f= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ sein. Bei der Tabelle (gibt es eine bessere Möglichkeit das darzustellen?) weiß ich jetzt nicht weiter. Geht das in die richtige Richtung? $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ \| A - B - C - D - E - F _________________________ A \| A - B - C - D - E - F B \| B - C - _ - _ - _ - _ C \| C - _ - D - _ - _ - _ D \| D - _ - _ - E - _ - _ E \| E - _ - _ - _ - F - _ F \| F - _ - _ - _ - _ - A zu b) hier muss ich zeigen das S3 nicht kommutativ ist, oder?
17.11.2014, 01:36	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Diagonale stimmt nicht, der Rand schon (Da a das neutrale Element ist) Zu b) Ein Gegenbeispiel mit $\begin{align} x \circ y\neq y \circ x \end{align}$ reicht aus.

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