Begriffe: Gegenargument in Verbindung mit mindestens u. höchstens

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Begriffe: Gegenargument in Verbindung mit mindestens u. höchstens
Hallo zusammen,

das Gegenargument wird ja oft verwendet um die Aufgabe zu erleichtern.
Am besten ist es ja wenn dann z.B. alle Gegenargumente
einem Ereignis z.B. H oder nicht H zugeordnet werden können.
Ohne Gegenargument hätte ich ein Mix von Gesunden und Kranken

Nun tauchen die Begriffe "mindestens einmal" und "höchstens einmal" oder "höchstens drei Patienten" usw. noch dazu auf.

Dreht sich im Gegenargument auch die Wörter um als aus höchstens wird mindestens und umgekehrt?


Beispiel:
Vier Patienten erhalten ein Medikament, das mit einer 60% Wahrscheinlichkeit eine Krankheit heilt.

a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das höchstens drei Patienten geheilt werden.
H= geheilt
H/ = nicht geheilt

Argument

1 Patient = H
2 Patient = H
3 Patient = H
4 Patient = H/

Wieso ist dann das Gegenargument nicht folgendes

1 Patient = H/
2 Patient = H/
3 Patient = H/
4 Patient = H

sondern dieses

1 Patient = H
2 Patient = H
3 Patient = H
4 Patient = H

Denn die Lösung heißt
06=60%=H
= 87,04%


Da wäre ich echt um Hilfe sehr dankbar. Ich denke das hat mit dem Wörtchen höchstens zu tun.

Höchstens kann ja bedeuten
3 Werden geheilt
aber doch auch keiner wird geheilt.

Und gehe ich dann von dem Extrem 3 werden geheilt aus, habe ich immer noch einen Mix zwischen geheilt und nicht geheilten Patienten

Gehe ich von dem anderen Extrem aus, keiner wird geheilt, wäre dies dann in der Umkehraufgabe alle werden geheilt?
Dreht sich im Gegenargument auch die Wörter um als aus höchstens wird mindestens und umgekehrt?


Genau das gleiche Problem in der 2 Aufgabe:
Beim Torwardschießen trifft Lukas mit 20% Wahrscheinlichkeit. Er hat 6 Versuche. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er
a) mindestens 1 Mal

T = 20% = treffen
T/ = 80% = nicht treffen

Ohne Gegenargument wäre es wieder ein Mix zwischen Treffen und nicht Treffen

Beim Gegenargument sagt man aber wieder


Wieder die Frage wieso verwende ich beim Gegenargument nur T/ also nicht treffen.


[B] Wieso ist das Gegenargument nicht genau das Gegenteil zum Argument?
Hat das wieder mit dem Wörtchen "mindestens Einmal" zu tun?
Wie geht man mit diesen Wörtern mindestens und höchstens beim Gegenargument um?

Da wir den Test schon am Dienstag schreiben wäre ich um Zeitnahe Hilfe sehr Dankbar
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wieso ist dann das Gegenargument nicht folgendes

1 Patient = H/
2 Patient = H/
3 Patient = H/
4 Patient = H


Wieviele würden denn dann geheilt werden? Doch wohl immer noch "höchstens" drei.

Bei solchen Aussagen wird die Grundmenge in zwei Bereiche eingeteilt. Einen der zutrifft und den Rest.
Wenn wir beispielsweise 1...10 als mögliche Ergebnisse haben, würde man diesen Bereich in und unterteilen. Das interessante Ereignis liegt dann entweder im rechten Teil (mindestens n) oder im linken Teil (höchstens n-1) und man kann anstatt P(X>n-1) auch 1-P(X<n) berechnen, wenn das einfacher ist.
 
 
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Vielen Dank für die Hilfe


Zitat:
Wieviele würden denn dann geheilt werden? Doch wohl immer noch "höchstens" drei.


Nein H/ heißt ja nicht geheilt. Also würde da ja nur einer Geheilt werden und man hätte wieder den Mix zwischen geheilt und nicht geheilt.

Zitat:
Wenn wir beispielsweise 1...10 als mögliche Ergebnisse haben, würde man diesen Bereich in und unterteilen. Das interessante Ereignis liegt dann entweder im rechten Teil (mindestens n) oder im linken Teil (höchstens n-1) und man kann anstatt P(X>n-1) auch 1-P(X<n) berechnen, wenn das einfacher ist.


Genau da hänge ich jetzt. Muss das Gegenargument nicht immer genau das Gegenteil sein?
Wie so darf ich jetzt hier plötzlich von nur Geheilten H oder nur NichtGeheilten H/
ausgehen?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst anscheinend den Fehler Dich auf ein Einzelereignis zu konzentrieren. Uns interessiert bei dieser Fragestellung aber nur, dass insgesamt nicht mehr als drei Leute geheilt werden. Auf welchem Weg das passiert ist da völlig egal.
Was das mathematisch bedeutet habe ich oben schon geschrieben: Wir packen alle Ereignisse, die zu weniger als vier geheilten führen, in eine Menge und alles andere in die andere Menge. Jedes Ereignis ist dann erfasst und muss sich also in einer der beiden (disjunkten) Mengen befinden.
Die erste Menge ist das "höchstens drei" Ereignis, die zweite Menge dann das Gegenereignis, nämlich nicht höchstens drei, also in diesem Fall genau vier geheilte Personen.
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Danke Helferlein,

langsam beginne ich zu begreifen. Aber noch nicht ganz 100%

Zitat:
Die erste Menge ist das "höchstens drei" Ereignis, die zweite Menge dann das Gegenereignis, nämlich nicht höchstens drei, also in diesem Fall genau vier geheilte Personen


Das verstehe ich jetzt. Ich habe zwei Mengen bzw. zwei Extreme.
Keine Heilung oder alle werden geheilt, nach dieser Aufteilung.

Mathematisch ausgedrückt
1, ..., n-1 und n, ..., 10
wobei die Ziffern 1,2 usw. die Geheilten also bei mir H sind.
Also zur Formel 1 alle geheilten minus einer Person die nicht geheilt ist
Zur Formel 2 alle Personen sind geheilt
der Ausdruck n-1 bedeutet alle minus die Kranke Person und hat noch nichts mit dem Gegenargument zu tun 1-P(X<n)
(Frage nur, da das Gegenargument auch immer eine 1- hat)



Wieso ist das Gegenereignis (Gegenteil) von "höchstens drei" alle also 4.
Es kann doch auch keiner also 0 Heilungen sein.

Mein Problem ist das ich einen 3 sehe
vor der drei wäre dann keiner also 0 = keine Heilung
hinter der drei alle also die 4 = Heilung

Bildhaft
0 3 4

Ohje, ich hoffe du verlierst nicht die Geduld

Besten Dank
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht war mein Beispiel oben nicht ganz günstig gewählt, denn in unserem Fall wären nicht 1..10 die Ergebnisse, sondern 0..4, nämlich die Anzahl der insgesamt geheilten Personen. Da wir vier Personen betrachten, können ja nur 0,1,2,3 oder 4 Personen geheilt werden.

Wenn es um höchstens drei Heilungen geht, haben wir also die Unterteilung 0..3 und den Rest, also 4.
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Danke, dass habe ich verstanden.

Jedoch nicht warum das Gegenargument von

0 1 2 3

folgendes ist
1 2 3 4

und nicht einfach nur

0


Denn ich habe doch die Menengen
1234 alle geheilt
0 keiner geheilt

und wieso ist dann von

mindestens 3

das Gegenargument
1234
und nicht einfach
0

genau daran hänge ich


Ich versuche es mir so zu erklären.

Ich habe zwei Mengen
A) Menge 1234
B) Menge 0

Eines von beiden Also Menge A oder B kann als Gegenargument zu der Menge "0123" gesehen werden.

Man nimmt dann die Menge als Gegenargument, bei der Werte in dem Fall die Zahl 4, nicht enthalten sind.

Da in der Menge A) die Zahlen 1234 (alle geheilt) die Ziffer 4
nicht in der Ereignsmenge (0123) enthalten sind, wird diese als Gegenargument verwendet.

Würde ich die Menge B) alo "0" (keiner geheilt) verwenden
Habe ich zu der 0 welche auch in der Ereignismenge (0123) vorhanden ist kein Gegenargument.

Kann man das so sehen?

Denn
Keine Heilung = 0
ist doch auch das Gegenargument zu "alle geheilt" 1234

Aber 0 ist im Ereignis 0123 schon enthalten.
Die 4 ist aber im Ereignis nicht enthalten, deswegen wird dieses Gegenereignis verwendet.


Stimmt dieser Gedankengang?

Besten Dank
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wer hat denn so etwas behauptet? verwirrt

Das Gegenereignis zu ist .
Denn wenn es nicht zutrifft, dass höchstens 3 Leute geheilt werden, dann müssen folgerichtig alle vier geheilt werden.
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Zitat:
Denn wenn es nicht zutrifft, dass höchstens 3 Leute geheilt werden, dann müssen folgerichtig alle vier geheilt werden.


Aber es kann doch auch mindestens 0 geheilt werden.
Das wäre doch das Gegenargument in die andere Richtung.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
vielleicht brauchst du ja eine "zweite" Meinung
Zitat:
Original von gutschein
Das wäre doch das Gegenargument in die andere Richtung.

Erstaunt1

Es gibt keine "verschiedenen Richtungen" beim Gegenereignis: Wenn ingesamt 0..4 möglich sind, und das Gegenteil zu 0..3 gesucht wird, dann ist dies

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Vielen Dank für euere Hilfe und vor allem für eure Geduld


Wenn
S=0123456
E=012
E/=3456

Also ist im Gegenereignis all das was nicht im Ereignis ist.

So steht es in meiner Formelsammlung.

Das ist mir Klaro.

Wenn es aber sprachlich heißt
mindestens 2
dann ist dies E=012
Somit wäre doch dann das Gegenereignis
E/=3456


Jetzt fasse ich das Ereignis 012 zu dem Ereignis
E1
Das Gegenereignis E7=3456 fass ich zu dem Ereignis E2


Zitat:
Du machst anscheinend den Fehler Dich auf ein Einzelereignis zu konzentrieren. Uns interessiert bei dieser Fragestellung aber nur, dass insgesamt nicht mehr als drei Leute geheilt werden. Auf welchem Weg das passiert ist da völlig egal.
Was das mathematisch bedeutet habe ich oben schon geschrieben: Wir packen alle Ereignisse, die zu weniger als vier geheilten führen, in eine Menge und alles andere in die andere Menge. Jedes Ereignis ist dann erfasst und muss sich also in einer der beiden (disjunkten) Mengen befinden.
Die erste Menge ist das "höchstens drei" Ereignis, die zweite Menge dann das Gegenereignis, nämlich nicht höchstens drei, also in diesem Fall genau vier geheilte Personen


Nochmals zum Beispiel:

Auszug Formelsammlung:
Wenn
S=0123456
E=012
E/=3456
(E/=Gegenereignis)




Ich habe eine Summe = 01234
Aus dieser Summe besteht das erste Ereignis mit dem Wortlaut mindestens 3 mit E=0123
Dieses fass ich zusammen zu E1

Die zweite Menge muss ja jetzt den Rest ergeben.
S-E1=E2 = 0,1,2,3,4-0,1,2,3=4

Somit ist die Zweite Menge =4. Also nur Person 4 wird geheilt

Gerechnet wird aber mit 1234 = Vier geheilte Personen


(Die Arbeit lief glaube ich ganz gut. Dennoch kann ich von dem obigen Problem nicht ganz ablassen. Leider)
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube so langsam kann ich deine Gedankengänge nicht mehr nachvollziehen: Warum sollte "mindestens 3 mit E=0123 " sein? E=0123 bedeutet, dass 0, einer , zwei oder drei geheilt werden. Mindestens drei bedeutet, dass 3 oder mehr geheilt werden, also in diesem Beispiel 3 oder 4. Das hat mit 0123 aber nichts zu tun!

Kann es sein, dass Du in der Nummer die einzelne Person siehst und nicht die Anzahl der geheilten? Dann würde das einiges erklären....
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Danke für deine Geduld und Hilfe.


Zitat:
Kann es sein, dass Du in der Nummer die einzelne Person siehst und nicht die Anzahl der geheilten? Dann würde das einiges erklären....


Ja, ist das nicht das Gleiche?

Zitat:
Ich glaube so langsam kann ich deine Gedankengänge nicht mehr nachvollziehen: Warum sollte "mindestens 3 mit E=0123 " sein? E=0123 bedeutet, dass 0, einer , zwei oder drei geheilt werden. Mindestens drei bedeutet, dass 3 oder mehr geheilt werden, also in diesem Beispiel 3 oder 4. Das hat mit 0123 aber nichts zu tun!



Ja tut mir leid. Statt mindestens sollte es höchstens heißen.


Zitat:
"mindestens 3 mit E=0123 " sein? E=0123 bedeutet, dass 0, einer , zwei oder drei geheilt werden.

Wie so stimmt diese Annahme nicht?
Wenn ich 4 Gummibärchen habe (1 rotes, 1 blaues, grünes, 1 gelbes" und ich esse höchstens 3

bedeutet doch dies, dass ich
gar keines esse = 0
eines esse = 1
zwei esse = 2
drei esse = 3

Man weiß nicht wie viel ich essen werde.
Mit Sicherheit weiß man aber, dass auf jedenfall EINES übrig bleibt.

Wenn ich dann von dem gesicherten Fall aus gehe, dass eines auf jedenfall übrig bleibt.

Dann habe ich wieder zwei Ereignisse
Ereignis 1 (0123) welches nicht sicher ist, da man nicht weiß wieviel gegessen werden.
Ereignis 2 (4) Das vierte Gummibärchen (es ist nur eines), wird auf keinen Fall gegessen

Wenn ich jetzt das "gesicherte" Ereignis E2 nehme, kann ich doch sagen
S=01234 also 4 Stück
E1 =0123 (kann irgendwie fast alles sein)
E2 =4 also nur ein Gummibärchen welches nicht gegessen wird.


Somit wäre dann das Gegenereignis zu E2 (1 Gummibärchen Nr. 4 welches nicht gegessen wird) = E2/ 01234 = 4 Gummibärchen, also alle die gegessen werden.



Zitat:
Das Gegenereignis zu ist .
Denn wenn es nicht zutrifft, dass höchstens 3 Leute geheilt werden, dann müssen folgerichtig alle vier geheilt werden.


Und da ist mein Problem.
Ereignisbeschreibung
Wenn ich höchstens 3 esse, dann kann doch nur eines übrigbleiben.
Gegenereignisbeschreibung
Wenn es nicht zutrifft, dass höchstens 3 gegessen werden, können alle 4 gegessen werden.

ICH beginn langsam zu verstehen. Hoffe ich
Ich habe bisher gedacht, dass das Gegenteil von höchstens dann mindestens sein muss, und auch so im Gegenereignis zu höchstens mindestens auftauchen muss.

Nur zum Verständnis:
Wie würde die Aufgabe aussehen, wenn ich den Ansatz gewählt hätte,
dass mindestens EINER nicht geheilt werden würde.
Bzw. wenn ich mindestens EIN Gummibärchen nicht esse.

Dann wäre doch
S=01234
E1 = 1 Ein Gummibärchen wo nicht gegessen wird
E2 = unsicheres Ereignis, da 0,1,2,3 Gummibärchen gegessen werden können.

Also nimm ich wieder Ereignis E1 dass ein Gummibärchen nicht gegessen wird.

wenn es nicht zutrifft, dass höchstens 1 Gummibärchen nicht gegessen wird,
dann müssen höchstens alle vier nicht gegessen werden

Ich denke mein Problem war der Begriff höchstens.
Unter höchstens verstehe ich es können mehr sein, es könne aber auch weniger sein.
Und so ist die Definition falsch. Höchstens heißt scheinbar immer mehr. ODER?

Wenn es höchstens 3 sind, ist bei nicht zutreffen dessen folglich alle
Und ich dachte fälschlicher Weise, dass wenn es höchstens 3 sind es auch weniger sein können. Dann bin ich aber wieder auf der unsichereren Seite da ich nicht weiß wieviel weniger. Bei allen ist die Zahl aber wieder klar.
Deswegen gehe ich auf die sicher Seite, nämlich wenn es höchstens 3 sind und dies nicht zu trifft können es alle sein.


Stimmt das so?

Wie wäre dann aber eine Aufgabe mit mindestens?
gutschein Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte folgende Tabelle im Kopf

E1 = Ereignis
E1/= Gegenereignis
1 = geheilt
0 = nicht geheilt

Personen I E1 I E1/
0 I 1 I O
1 I 1 I O
2 I 1 I O
3 I 1 I O
4 I 0 I 1

Beim Gegenereignis habe ich einfach das Ergebnis vom Ereignis umgedreht.
Was scheinbar falsch ist. Denn bei nicht zutreffen von höchstens 3 ist dies alle.
Somit darf man das Ergebnis von E1 nicht einfach umdrehen. Schade. Oder

Somit wäre richtig
Obwohl ich das manchmal das gleiche in E1 wie in E1/ habe.
Personen I E1 I E1/
0 I 1 I 1
1 I 1 I 1
2 I 1 I 1
3 I 1 I 1
4 I 0 I 1





Wie würde die Tabelle mindestens 1 wird nicht geheilt aussehen?
Wiede rmeine falsche annahme:
Personen I E1 I E1/
0 I 0 I 1
1 I 1 I 0
2 I 0 I 1
3 I 0 I 1
4 I 0 I 1

Die richtige?
Personen I E1 I E1/
0 I 0 I
1 I 1 I
2 I 0 I
3 I 0 I
4 I 0 I
gutschein Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe hier nochmal alles zusammen gefasst.
Es wäre schön wenn du das Blatt ansehen würdest.

Ich denke jetzt ist der Groschen gefallen.
In der Tat habe ich ständig Personen mit Ereignisse durcheinander gebracht.

Vielen lieben Dank
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast den entscheidenden Knackpunkt noch immer nicht erfasst: Das Gegenereignis wird nur deswegen genommen, weil es weniger Berechnungen erfordert, als das Ereignis. Ist das nicht der Fall, dann kann man zwar trotzdem mit dem Gegenereignis rechnen, es lohnt sich aber nicht.

Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 10 Würfen eines Würfels mindestens eine Sechs zu werfen?
Hier wäre das Ereignis "Mindestens eine Sechs" und das Gegenereignis "Keine Sechs". Berechne ich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses direkt, dann komme ich zu der Formel
Wesentlich schneller komme ich mit dem Gegenereignis ans Ziel:

Wäre die Fragestellung aber wie groß die Wahrscheinlichkeit für mindestens acht Sechsen ist, dann benötige ich für das Gegenereignis mehr Rechnungen, so dass es sich nicht lohnt diesen Weg zu gehen.
gutschein Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Helferlein.

Doch, das was du eben geschrieben hast ist mir schon klar.
Wenn ich mit dem Gegenereignis die Aufgabe vereinfachen kann, dann nehme ich das.
Ich habe doch auf dem Bild, letztes Posting dies auch so ganz oben vermerkt.
Denn wenn im Gegenereigniss z.B. nur nur Gesunden vorkommen, kann man damit vereinfachen wie wenn ich mit Gesunden und Kranken rechenen muss. Oder eben dein Würfelbeispiel.


Mich würde eher Interessieren, was du zu meiner Ausführung, letzetes Posting Bild sagen würdest.
Stimmt dies so?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist, dass ich aus einem Bild nicht rauskopieren kann und es sind einige Passagen drin, mit denen ich nicht einverstanden bin, oder die ich zumindest anders formuliert hätte.

Nehmen wir zum Beispiel deine Aussage von oben. Wie passt die zu der im Text stehenden Aussage "Da ich nicht weiss, ob keine, eine, zwei oder drei Personen geheilt werden, kann ich mit diesem Ereignis nicht rechnen"?
Natürlich kann man die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses berechnen, denn es ist eine Oder-Aussage. Wie ich oben aber schon schrieb ist es natürlich deutlich einfacher mit dem Gegenereignis zu rechnen, da es nur aus einem Ereignis besteht. Berechnen kann man das andere aber trotzdem.
Weiter unten heisst es dann "1- steht für das Gegenereignis". Das ist auch falsch. Es steht nicht für das Gegenereignis, sondern resultiert aus der Tatsache, dass sich die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis zu eins addieren müssen.

Das sind jetzt nur zwei der Passagen, die ich kritisieren würde. Es gibt aber noch einige mehr, die nicht nachvollziehbar oder inhaltlich falsch sind.
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