isomorphe abelsche Gruppen

17.11.2014, 11:43	Jaccol	Auf diesen Beitrag antworten »
isomorphe abelsche Gruppen Meine Frage: Hallo, ich hab folgende Aufgabe. Seien $\begin{eqnarray} G ,H \end{eqnarray}$ zwei endliche abelsche Gruppen. Dann gilt: $\begin{eqnarray} U \le G \end{eqnarray}$ ist genau dann isomorph zu $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ , wenn es ein $\begin{eqnarray} N \triangleleft G \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} G/N \cong H \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich hab schon versucht einen Epimorphismus zwischen $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ zu finden. Dann wäre ja die erste Richtung gezeigt. Über jede Hilfe wäre ich dankbar.
17.11.2014, 12:42	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Satz macht, so wie er da steht, keinen Sinn. Es soll wohl irgendwie darauf hinauslaufen, dass bei endlichen abelschen Gruppe jede Untergruppe auch als Quotient auftaucht und umgekehrt. Aber das solltest du zunächst mal sauber formulieren.
17.11.2014, 12:48	Jaccol	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo tmo, nagut. Also die Aussage ist. $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ besitzt genau dann eine Untergruppe $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ , die isomorph zu $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ ist, wenn $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ einen Normalteiler $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ besitzt mit $\begin{eqnarray} G/N \cong H \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ sind aber immer noch endliche abelsche Gruppen.
17.11.2014, 14:30	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist dann genau das, was ich oben geschrieben habe. Zeige die Aussage zuerst, wenn G zyklisch (und endlich) ist. Da endliche abelsche Gruppen direkte Produkte von zyklischen Gruppen sind, reicht das schon.
17.11.2014, 16:14	Jaccol	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey tmo, ok für zyklische Gruppen ist es klar. Bei den abelchen fehlt mir noch ein Argument. Ich mein, wenn $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ Komplemente in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ besitzen, ist die Aussage auch klar. Aber ich weiß jetzt nicht, wie ich den Hauptsatzt für abelsche Gruppen nutzen kann. Also. Sei $\begin{eqnarray} U \le G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|G\|=n=st \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|U\|=t \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} U \cong H \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ein direktes Produkt von zyklischen Gruppen. Dennoch weiß ich doch nichts so richtiges über $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ . Kannst du mir noch nen Tipp geben?
17.11.2014, 17:25	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Letztendlich musst du nur noch zeigen: Haben $\begin{align} G_1 \end{align}$ und $\begin{align} G_2 \end{align}$ die zu zeigende Eigenschaft (Jede Untergruppe ist Quotient und umgekehrt), so auch $\begin{align} G_1 \times G_2 \end{align}$ . Der Rest folgt dann aus dem Hauptsatz.
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