Äquivalenzrelation beweisen

17.11.2014, 13:49

Earl

Äquivalenzrelation beweisen

Meine Frage:
Hallo,
folgende Frage sei zu beantworten:
$\begin{eqnarray*} Auf\ M\ := \mathbb N\ \times \ \mathbb N\ sei\ \otimes\ definiert\ durch:\\ (n1, n2)\ \otimes\ (m1, m2)\ \Leftrightarrow\ n1 + m2 = n2 + m1\ \\ Zeigen\ sie,\ dass\ \otimes\ eine\ Aquivalenzrelation\ auf\ M\ ist. \end{eqnarray*}$
( $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ = ~)
Mit fehlt jedoch jeglicher Ansatz. Ob mir vielleicht jemand den Einstieg kurz erläutern könnte?

Meine Ideen:
...

17.11.2014, 13:57

klarsoweit

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RE: Äquivalenzrelation beweisen
Was muß man den laut Definition der Äquivalenzrelation zeigen?

17.11.2014, 22:37

Earl

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RE: Äquivalenzrelation beweisen

Zitat:

Eine Relation R auf einer Menge M heißt eine Aquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

18.11.2014, 09:39

klarsoweit

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RE: Äquivalenzrelation beweisen
OK. Also mußt du zeigen, daß die oben definierte Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

18.11.2014, 17:06

Earl

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RE: Äquivalenzrelation beweisen
Wie zeigt sich denn Symmetrie und Reflexivität, bzw. wie schreibt man sowas auf?
Transitivität kann ich mir so erklären:
$\begin{eqnarray*} (n1,n2) \otimes (m1,m2) \Leftrightarrow n1+m2=n2+m1\\ (m1,m2) \otimes (k1,k2) \Leftrightarrow m1+k2=m2+k1\\ Addiert\ man\ die\ Gleichungen,\ erhalt\ man\\ m1+k2+n1+m2=m2+k1+n2+m1\\ oder\ aquivalent\\ k2+n1=k1+n2\ und\ damit\ (m1,m2)~(k1,k2) \end{eqnarray*}$

19.11.2014, 08:42

klarsoweit

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RE: Äquivalenzrelation beweisen

Zitat:

Original von Earl
$\begin{eqnarray*} k2+n1=k1+n2\ und\ damit\ (m1,m2)~(k1,k2) \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} k2+n1=k1+n2\ und\ damit\ (n1,n2) \otimes (k1,k2) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Earl
Wie zeigt sich denn Symmetrie und Reflexivität, bzw. wie schreibt man sowas auf?

Nicht wesentlich anders als bei der Transitivität. Für Reflexivität muß (n1,n2) äquivalent zu sich selbst sein.

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