rang a = rang at = rang aat = rang ata

17.11.2014, 19:10

Vivien_93

rang a = rang at = rang aat = rang ata

Meine Frage:
Hallo ihr Süßen smile

Ich fühle mich derzeit in der linearen Algebra nicht gerade wohl und bin sehr unsicher...
Ich habe folgende aufgabe und zwar soll ich

Sei A eine Matrix mit $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R^{3,4} \end{eqnarray*}$

Sie den Rang von $\begin{eqnarray*} A , A^{T} , AA^{T} , A^{T}A \end{eqnarray*}$ durch Ablesen an Hand der ZSF.

$\begin{eqnarray*} A := \begin{pmatrix} 0 & 0 & -8 & 0 \\ -4 & -4 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es wäre super, wenn ihr sagen könntet ob meine Ideen richtig sind oder nicht....

Meine Ideen:
Für die ZSF:

Brauch man nur Zeile 1 und Zeile 2 tauschen, oder?

Also:

$\begin{eqnarray*} A := \begin{pmatrix} -4 & -4 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & -8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Rang müsste 3 sein...nun habe ich irgendwo gelesen, dass

$\begin{eqnarray*} rang(A)=rang(A^{T})=rang(AA^{T})= rang (A^{T}A) \end{eqnarray*}$

Stimmt das? dann müsste ja die Lösung:

$\begin{eqnarray*} rang(A)=rang(A^{T})=rang(AA^{T})= rang (A^{T}A)= 3 \end{eqnarray*}$ sein

17.11.2014, 19:33

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Der Rang müsste 3 sein...nun habe ich irgendwo gelesen, dass

Nein, 2te Zeile und 3te Zeile sind offenbar linear abhängig.
Die Gleichung gilt allerdings.

18.11.2014, 09:01

Vivien_93

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm

versteh das richtig?

Meine ZSF ist bereits richtig?

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} rang (A) = rang (A^{t}) = rang (A^{t} A) = rang (AA^{t} ) \end{eqnarray*}$

ist auch richtig nur der Rang nicht?

Gut wenn ich mir nochmal die ZSF betrachte sehe ich das die zweite -4 gar kein Kopf ist,
da diese ja tiefer als die erste -4 sein müsste?

Und in Zeile 3 hat die 4 eine 0 über dem Kopf und ist somit kein Kopf....

also haben wir dann nur 1 Kopf und das ist aus Zeile 1 die erste -4

somit ist dann

$\begin{eqnarray*} rang (A) = rang (A^{t}) = rang (A^{t} A) = rang (AA^{t} ) = 1 \end{eqnarray*}$ ???

18.11.2014, 09:09

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Meine ZSF ist bereits richtig?

Nein, es ist $\begin{eqnarray*} \mathrm{rg} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -8 & 0 \\ -4 & -4 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \end{pmatrix} = \mathrm{rg} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ -4 & -4 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

18.11.2014, 09:29

Vivien_93

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay nachvollzogen...aber was ist denn nun der Rang???

Und wie komm ich dann darauf???

Ich hab doch jetzt eine Null-Zeile....das heißt der maximale Rang kann nicht mehr 3 sondern nur noch 2 sein richtig???...

Aber da über dem Kopf keine null sein darf ist der Rang 1 oder?

18.11.2014, 09:31

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \mathrm{rg}(A)=\text{Anzahl der lin. Unabhängigen Zeilen in } A \end{eqnarray*}$ , wieviele solche Zeilen hat $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in diesem Fall?

Zitat:

Ich hab doch jetzt eine Null-Zeile....das heißt der maximale Rang kann nicht mehr 3 sondern nur noch 2 sein richtig???...

Ja.

Zitat:

Aber da über dem Kopf keine null sein darf ist der Rang 1 oder?

Was ist überhaupt der Kopf?

18.11.2014, 09:42

Vivien_93

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Kopf einer Zeile von A ist der erste Eintrag (von links) in dieser Zeile, der ungleich Null ist.

Der Rang von A ist
die maximale Anzahl von linear unabhängigen Zeilen von A bzw. linear unabhängigen Spalten, die Anzahl der Köpfe in einer bzw. jeder ZSF.

Da wir aber zwei linear unabhängige Zeilen haben ist der Rang 2 smile

18.11.2014, 09:53

Vivien_93

Auf diesen Beitrag antworten »

richtig?

18.11.2014, 10:03

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, $\begin{eqnarray*} \mathrm{rg}(A)=2 \end{eqnarray*}$ .

18.11.2014, 10:06

Vivien_93

Auf diesen Beitrag antworten »

Somist ist von allen dann der Rang = 2 nach dem oberen Satz?