Turnier, kleinste mögliche Punktanzahl

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mhma Auf diesen Beitrag antworten »
Turnier, kleinste mögliche Punktanzahl
Meine Frage:
Guten Abend!

Mir wurde die folgende Aufgabe gestellt: An einer Schule findet ein Tischtennisturnier mit n Teilnehmern statt. Es tritt jeder Spieler gegen jeden Spieler exakt einmal an. Für einen Sieg erhält ein Spieler 5 Punkte, für ein Unentschieden 3 und bei einer Niederlage 0. Die Platzierung kommt durch die erzielten Punkte zustande, sollten zwei Spieler die gleiche Punktanzahl haben so wird gelost (ob das fair ist ist für die Aufgabenstellung anscheinend egal Augenzwinkern ). Wieviele Punkte hat der m-platzierte mindestens erzielt.

Ich habe unglücklicherweise nicht die geringste Ahnung wie ich dieses Beispiel angehen soll, obwohl ich mir sicher bin, dass es nicht so schwer ist, also dürfte hoffentlich ein Hinweis in die richtige Richtung oder ein einfacher Denkanstoß genug sein um mich auf den richtigen Weg zu bringen. (Die Betonung liegt auf hoffentlich).

Meine Ideen:
Als erstes hab ich mir mal überlegt, wieviele Spiele denn überhaupt gespielt werden müssen. Wenn ich mich nicht sehr getäuscht habe ist die Anzahl der Spiele .

Jeder Spieler spielt Spiele (da er ja gegen jeden Spieler antritt, aber nicht gegen sich selbst antreten kann).

Im Zuge dieser k Spiele sammelt er s mal 5 Punkte, u mal 3 Punkte und n mal Punkte. (Das würde doch heißen, dass ist.

... Und jetzt komm ich nicht mehr weiter.

Ich bedanke mich jetzt schon mal im Voraus bei allen Helfern!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man muss sich überlegen, in welcher Konstellation der -Platzierte möglichst wenig Punkte bekommt. Da ist folgendes ziemlich naheliegend:

1) Die ersten Platzierten gewinnen alles gegen den Rest, d.h., die letzten Platzierten.

2) Die letzten Platzierten nehmen sich möglichst gleichmäßig die Punkte ab, so dass der letzte annähernd dieselbe Punktzahl wie der -Platzierte hat.

3) Da für einen Sieg 5+0=5 Punkte verteilt werden, für ein Remis aber sogar 3+3=6 an beide beteiligten Mannschaften zusammen, sollte man für eine solche "Konfiguration der gleichmäßigen niedrigen Punktverteilung" in 2) fast nur mit Siegen arbeiten.

Unter Beachtung dieser Prinzipien kann man schon mal ziemlich genau berechnen, wie die gesuchte minimale Punktzahl aussieht. Für das letzte Quentchen ist dann noch Detailarbeit nötig, keine Frage. Augenzwinkern
mhma Auf diesen Beitrag antworten »

*seufz* und schon hab ich dich verloren ; ( Kannst du das vllt nochmal langsam und für doofe erklären (entschuldige bitte die extra Mühe aber momentan fehlt mir vollkommen der Durchblick)? (Im übrigen hab ich grad 'ne Mail bekommen wonach sich mein Prof vertippt hat. Unentschieden bringt 2 Punkte... Ich schätze damit ist zumindest Punkt 3 hinfällig)

Was mir klar ist, ist dass ich irgendwie eine Konstellation für möglichst wenige Punkte für den Spieler m finden muss. Am besten wäre es dann wenn die Spieler die besser sind als m all ihre Spiele gewonnen haben und all jene die schlechter sind als m all ihre Spiele verloren haben. (Hab ich dich so weit richtig verstanden?)
mhma Auf diesen Beitrag antworten »

Moment mal, die 'guten' Spieler spielen ja auch gegeneinander, geh ich dann davon aus dass die alle Spiele unentschieden gegeneinander spielen? Genauso wie die 'schlechten' Spieler?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mhma
Unentschieden bringt 2 Punkte... Ich schätze damit ist zumindest Punkt 3 hinfällig)

Es ändert - und vereinfacht ihn sogar - wegen 2+2=4<5 dahingehend, dass die letzten (n-m+1) dann sämtlich Remis gegeneinander spielen.

Zitat:
Original von mhma
Am besten wäre es dann wenn die Spieler die besser sind als m all ihre Spiele gewonnen haben und all jene die schlechter sind als m all ihre Spiele verloren haben. (Hab ich dich so weit richtig verstanden?)

Nicht "all ihre Spiele", denn die spielen da oben und auch da unten ja auch gegeneinander - wie sollen mehrere Mannschaften alle Spiele gewinnen. unglücklich

Ich hab mir oben wirklich Mühe gegeben, mich präzise auszudrücken. Also lies dir das bitte gründlich durch, und stell nicht Nachfragen "Heißt das jetzt blablblabla", worin du meine Aussagen verfälschst. Finger2
mhma Auf diesen Beitrag antworten »

Verzeih, der Fehler ist mir dann auch aufgefallen, weswegen ich ja auch ein 2. Mal gepostet habe. Es war nicht meine Absicht dir falsche Aussagen in den Mund zu legen, also bitte entschuldige.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

So, nun ist ja der Rest eigentlich nicht mehr so schwer:

Mannschaft verliert gegen die ersten Mannschaften und spielt Remis gegen die anderen Mannschaften, das macht genau Punkte.

Es ist sogar leicht beweisbar, dass es nicht mit weniger geht:

Die letzten Mannschaften (also von Mannschaft bis hin zur letztplatzierten) bestreiten untereinander genau Spiele. In diesen Spielen werden insgesamt mindestens Punkte vergeben (wegen Remis 2+2=4, Sieg 5+0=5>4), d.h., diese Mannschaften erzielen auch zusammen in allen Begegnungen (dann inklusive gegen die oberen Mannschaften) diese mindestens Punkte.

Nun muss aber die beste dieser Mannschaften - eben unsere Mannschaft - mindestens die Durchschnittspunktzahl dieser Mannschaften erreichen, d.h. mindestens .


Anmerkung: In diesem Minimalfall mit Punkten haben alle Mannschaften von Position nis zur letzten Position jeweils genau Punkte, die eigentliche Reihenfolge wird daher (wie in der Aufgabenstellung erwähnt) per Losentscheid ermittelt.
mhma Auf diesen Beitrag antworten »

Neuer Tag, neues Glück? smile

Ich hab mir das was du geschrieben hast nochmal durchgelesen, ich kann nicht wirklich behaupten, dass ich glaube es voll und ganz zu verstehen aber ich versuchs mal mir nochmal klar zu machen.

Im Prinzip hab ich doch 3 Mengen von Spielern:
A={Spieler die besser sind als die Spieler der Gruppe B} ihre Anzahl ist m-1, sie gewinnen jedes Spiel gegen jeden Spieler aus B erhalten also |B|*5 Punkte hierfür und spielen gegeneinander unentschieden (ich weiß, das hast du so nicht gesagt, aber so kann ich die Werte doch möglichst gering und einheitlich halten) erhalten also |A|*2 Punkte hierfür und das heißt ein Spieler aus A steigt schlussendlich mit (m-1)*2+(n-k+1)*3 Punkten aus.

B={Spieler die schlechter sind als die aus A, enthält auch mein m} ihre Anzahl ist n-k+1 (=n-(k-1) ??).
Sie verlieren jedes Spiel gegen die Spieler aus A und spielen gegeneinander unentschieden, im Endeffekt erhält also jeder Spieler aus B (m-1)*0+(n-k+1)*2 Punkte und da m in B enthalten ist ist das auch die Anzahl an Punkten die m erhält. (?)

Entschuldige bitte falls ich unabsichtlich erneut deine Aussage verfälscht habe es war sicherlich nicht geplant und auch nicht um dich zu verärgern sondern aus... Doofheit.
mhma Auf diesen Beitrag antworten »

So, jetzt hast du wohl gepostet während ich noch am austippen meiner idee war. Vielen Dank, glaube habs jetzt endlich verstanden (und das k in meinem Text soll m heißen Augenzwinkern )
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es fällt vor allem ein Rechen- bzw. Denkfehler in deinem Text auf, und der passiert gleich mehrfach

Wenn eine Mannschaft gegen die anderen aus der Gruppe der Mannschaften spielt, dann sind das nicht Spiele, sondern nur , denn sie spielen ja nicht gegen sich selbst. Augenzwinkern

Auch oben bei den Spielen der oberen Mannschaften unter sich ist das zu berücksichtigen, d.h. das sind dann nur jeweils Spiele.
mhma Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Erkenntnis hatte ich nachdem ich deine Lösung gelesen habe auch. Vielen vielen Dank! Gott
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