Lineare Unabhängigkeit Vektoren

17.11.2014, 21:54	queenX	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit Vektoren Meine Frage: Hi, ich soll überprüfen, ob folgende Vektoren linear unabhängig sind: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mit Gauss habe ich die Matrix auf Zeilen-Stufenform gebracht: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & 3 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 3 \end{pmatrix} =<br /> \begin{pmatrix} -1 & 3 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 3 \end{pmatrix} =<br /> \begin{pmatrix} -1 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 8 & 4 & -4 \\ 0 & 4 & 6 & -2 \\ 0 & -4 & 0 & 4 \end{pmatrix} =<br /> \begin{pmatrix} -1 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 8 & 4 & -4 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} =<br /> \begin{pmatrix} -1 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 8 & 4 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \end{pmatrix} =<br /> \begin{pmatrix} -1 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 8 & 4 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da die letzte Zeile keine 0 Zeile ist, ist das System linear unabhängig. Ich habe aber noch eine andere Definition von der linearen Unabhängigkeit gefunden: Wenn die Determinante 0 ist, ist das System linear abhängig. Dazu habe ich die Matrix in einen Rechner getippt, der mir die Determinante bestimmt - und es kommt 0 raus, d.h. eig. das System ist linear abhängig. Was stimmt nun? Gruß
17.11.2014, 22:21	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Man erkennt durch scharfes hinsehen recht schnell, dass die Wahl von $\begin{eqnarray} \lambda_1=\lambda_2=\lambda_4=1,\lambda_3=-1 \end{eqnarray}$ eine Lösung ist, also sind die Vektoren linear abhängig. EDIT: Die Benennung ist der Reihe nach von links nach rechts.
17.11.2014, 22:24	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zeilen sind abhängig, Du wirst Dich irgendwo vertan haben. Ohne Erklärung kann man deine Rechnungen aber leider nicht nachvollziehen. EDIT: Zuschlag an bijektion
17.11.2014, 22:31	sixty-four	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearbe Unabhängigkeit Vektoren Zunächst mal eine Bemerkung zum Formalismus: Du verwendest zwischen den Umformungsschritten immer ein Gleichheitszeichen. Da du aber die Matrixschreibweise benutzt, gilt die Gleichheit nicht. Wenn du ein Gleichhheitszeichen schreiben willst, musst du zur Determinantendarstellung übergehen. Jetzt zu deinem Problem: Wenn du die Determinante so umgeformt hast, dass sie Dreiecksgestalt hat, kannst du ihren Wert unmittelbar durch Multiplikation der Hauptdiagonalelemente berechnen. Das ergibt sich aus dem Laplaceschen Entwicklungssatz. Wenn deine Umformung also richtig wäre, ist der Wert der Determinante nicht 0. Ich glaube, dass in der dritten Umformung die 6 in der dritten Zeile falsch ist. Dort gehört eine 4 hin.
17.11.2014, 22:43	queenX	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, oh tatsächlich, habe mich in der 3. Umformung gleich 2 mal vertan. Jetzt habe ich es raus. Danke an euch alle! Gruß

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