lineare Abhängigkeit

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linAb Auf diesen Beitrag antworten »
lineare Abhängigkeit
Meine Frage:
Hallo,

ich hab 5 Vektoren gegeben und soll zeigen, dass diese linear Abhängig sind. Diese hab ich in Form einer Matrix aufgeschrieben und diese in Stufenform gebracht. Dabei erhalte ich aber keine Nullzeile.
Muss eine Matrix unbedingt eine Nullzeile haben, um linear Abhängig zu sein?

Meine Ideen:
Muss ich ein anderes Verfahren anwenden als den Gauß-Algorithmus?
Spielt es eine Rolle, dass die 5 Vektoren nur aus 4 Elementen bestehen, meine Matrix also nur 4 Zeilen aber 5 Spalten hat?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die 5 Vektoren gegeben hast und setzt, so musst du überprüfen ob vollen Rang besitzt, oder äquivalentes wie etwa .
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lineare Abhängigkeit
Generell mache ich das so, daß ich die Vektoren zeilenweise in eine Matrix eintrage. Dabei ist es auch unerheblich, aus wieviel Komponenten die Vektoren bestehen.
Entsteht dann bei Anwendung des Gauß-Algorithmus eine Nullzeile, so sind die Vektoren linear abhängig.

EDIT: zu spät. traurig Bin dann wieder raus.
LinAb Auf diesen Beitrag antworten »

Leider habe ich eine 4x5 Matrix

@klarsoweit: wenn v1= w+x+y+z, v2=2w+2x+y-z, v3=w+x+3y-z, v4= -x+y-z und v5=w-y+x ist würdest du jeden dieser Vektoren in einer Zeile schreiben? Also so:
? verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LinAb
@klarsoweit: wenn v1= w+x+y+z, v2=2w+2x+y-z, v3=w+x+3y-z, v4= -x+y-z und v5=w-y+x ist würdest du jeden dieser Vektoren in einer Zeile schreiben?

Ja, genau so. Im übrigen sind 5 Vektoren mit 4 Komponenten immer linear abhängig. smile
linAb Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sind 5 Vektoren mit 4 Komponenten denn immer linear abhängig?

Um in diesem Fall zu zeigen, dass eine lineare Abhängigkeit besteht, reicht es, die Matrix in normierte Zeilenstufen Form zu bringen? Bei normaler Zeilenstufen Form erhalte ich nämlich keine Nullzeile :/
 
 
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wieso sind 5 Vektoren mit 4 Komponenten denn immer linear abhängig?

Weil die Vektoren dann im liegen, insb. hat eine maximal linear unabhängige Teilmenge dann vier Elemente.

Zitat:
Um in diesem Fall zu zeigen, dass eine lineare Abhängigkeit besteht, reicht es, die Matrix in normierte Zeilenstufen Form zu bringen? Bei normaler Zeilenstufen Form erhalte ich nämlich keine Nullzeile :/

Jetzt kannst du auch einfach nutzen was oben steht.
LinAb Auf diesen Beitrag antworten »

okay, das macht Sinn. Allerdings wüsste ich dann wieder nicht, wie ich das beweisen muss
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast nur vier Richtungen, das sind die ersten vier Vektoren. Packst du noch einen dabei, so muss er sich darstellen lassen als Linearkombination (zumindest falls die ersten vier nicht schon linear abhängig sind).
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von linAb
Bei normaler Zeilenstufen Form erhalte ich nämlich keine Nullzeile :/

Auch da müßtest du eine Nullzeile erhalten.
LinAb Auf diesen Beitrag antworten »

Die Matrix die ich dann erhalte sieht aber so aus:

Da ist ja keine Nullzeile unglücklich
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

da hast du dich verrechnet. Es entsteht , wie theoretisch prognostiziert ( mindestens ) eine Nullzeile.

Dies ist so, wenn die Vektoren Zeilen sind.
Sind die Vektoren Spalten = transponierte Matrix, dann muss keine Nullzeile entstehen, so wie im vorliegenden Beispiel.
Der Rang der Matrix bleibt aber 4
LinAb Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke, habe den Fehler gefunden.

Ich hätte aber noch eine weitere Frage:
Unter welchen Bedingungen an w,x,y,z sind schon v1 - v4 linear abhängig?
Was muss ich machen um das herauszufinden? Diesmal die Matrix ohne v5 in Stufenform bringen? verwirrt
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