a^b = b^a |
| 12.10.2003, 11:45 | henrik | Auf diesen Beitrag antworten » |
| a^b = b^a Wollte wissen wo ich Informationen zu dieser Gleichung finden kann... Sie hat aufjedenfall unendlich viele Lösungen auch wenn b != a eine Simple wäre ja 2^4 = 4^2 2^x = x^2 hat allein schon 3 Lösungen Wobei alle (2k)^x = x^(2k) k € N 3 Lösungen haben (vermutung) - einmal wo x = 2k - eine zwischen 0 und -1 - und wenn 2k < e dann hat sie noch eine Lösung die größer als e ist und wenn 2k > e dann hat sie noch eine die unter e ist. Daher hat e^x = x^e auch nur eine Lösung im Positiven Bereich. Wobei das auch nur Vermutung von mir ist 
Mich würde interessieren wie man diese krummen Lösungen findet.. bei 2^x = x^2 wäre die zwischen 0 und -1 ungefähr -23/30 2^(-23/30) ~ (-23/30)^2 Wenn bei (2k)^x = x^(2k) k € N k --> oo dann nähert sich die Lösung immer mehr -1 an. Würde mich über mehr Informationen freuen über das Problem 
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| 12.10.2003, 12:27 | movarian | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi. Ich kann dir zumindest mal sagen, wie man diese Gleichungen für konkretes a oder b auflöst, also zum Beispiel 2^x=x^2 exp(x*ln(2))=x^2 exp(x*ln(2)/2)=abs(x) Sei x>=0, dann gilt abs(x)=x exp(x*ln(2)/2)=x x*exp(-x*ln(2)/2)=1 -x*ln(2)/2*exp(-x*ln(2)/2)=-ln(2)/2 -x*ln(2)/2=LambertW(k,-ln(2)/2) x=-2/ln(2)*LambertW(k,-ln(2)/2) mit k aus den ganzen Zahlen. Für k=-1 bzw k=0 bekommt man die einzigen reellen Lösungen in diesem Fall, nämlich 4 bzw 2, die auch zu der Voraussetzung x>=0 passen. 2. Fall: x<0 Es gilt dann abs(x)=-x Also wird die Gleichung: exp(x*ln(2)/2)=-x exp(-x*ln(2)/2)*(-x)=1 exp(-x*ln(2)/2)*(-x*ln(2)/2)=ln(2)/2 x=-2/ln(2)*LambertW(k,ln(2)/2) und für k=0 damit die reelle Lösung mit dem Nährungswert -0.76666469596212309311120442251031484800667534666982 Vielleicht lässt sich dies auch allgemein unter Annahme eines gegebenen, festen a's oder b's machen, vielleicht probiere ich es mal, wobei mir aber irgendwie Kenntnisse über die Natur der LambertW-Zweige fehlt. Gruß Philipp |
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| 12.10.2003, 13:41 | movarian | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich habe mal ein bisschen über den Fall nachgedacht, in dem eine der beiden Zahlen natürlich ist, und bin zu folgendem Ergebnis gekommen, wobei auch eine deiner Vermutungen bestätigt wird: Sei n natürlich, ungerade. n^x=x^n exp(x*ln(n)/n)=x -ln(n)/n=-x*ln(n)/n*exp(-x*ln(n)/n) -n/ln(n)*LambertW(k,-ln(n)/n) Für die LambertW-Funktion gilt: LambertW(k,x) ist für x>=0 genau dann reell, wenn k=0. LambertW(k,x) ist für -exp(-1)<=x<0 genau für k=-1 und für k=0 reell. n ist nach der Voraussetzung aus {1,3,5...} Die Funktion f:x->-ln(x)/x hat für x=exp(1) ihr Maximum bei f(exp(1))=-exp(-1) und geht für x->oo gegen 0. Damit gilt für n=3,5,7 ..., dass -exp(1)<-ln(n)/n<0 Damit ergeben sich die beiden reellen Lösungen -n/ln(n)*LambertW(-1,-ln(n)/n) und -n/ln(n)*LambertW(0,-ln(n)/n) für n=3,5,7 Für n=1 gibt es nur die eine, reelle Lösung 1, die sich für k=0 ergibt aus der allgemeinen Lösung ergibt. 2. Fall: Sei n eine gerade, natürliche Zahl: n^x=x^n exp(x*ln(n))=x^n Jetzt ist hier der Unterschied, dass, wenn man auf beiden Seiten die n. Wurzel zieht, rechts nicht einfach nur x, sondern der Betrag von x steht. Man muss also die Fallunterscheidung x>=0 und x<0 machen. Für x>=0 ergibt sich die selbe Gleichung wie zuvor, und mit der gleichen Argumentation erhält man -n/ln(n)*LambertW(-1,-ln(n)/n) sowie -n/ln(n)*LambertW(0,-ln(n)/n) streng genommen nur für n=4,6,8... , da meine Argumentation mit der Mononie von -ln(n)/n nur hier gilt, aber für n=2 stimmt es ebenfalls. Allerdings muss man noch den Fall x<0 betrachten, für den abs(x)=-x gilt, womit man aus der Gleichung exp(x*ln(n))=x^n jetzt exp(x*ln(n)/n)=-x erhält. Damit wird die Lösung zusätlich -n/ln(n)*LambertW(0,ln(n)/n) wobei hier ln(n)/n nicht mehr im Intervall [-exp(-1);0[ liegt und man damit nur noch die eine reelle Lösung für k=0 erhält. Es gibt also für eine gerade, natülriche Zahl tatsächlich immer 3 Lösungen, wie von dir angenommen. Man könnte -n/ln(n)*LambertW(0,ln(n)/n) noch abschätzen und würde vermultihc tatsächlich erhalten, dass sie stets im Intervall [-1;0] zu finden ist für n>=1. Das war es erstmal. Gruß Philipp |
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| 13.10.2003, 18:22 | rie- | Auf diesen Beitrag antworten » |
hab das ganze mal etwas optisch aufbereitet http://www.plinninger-web.de/ftp/mathe/s4stuff.html wenns noch fragen zur W-Funktion gibt kann ich euch auch weiterhelfen p.s.: die unteren sachen auf der Seite sind mehr spielerei zu Riemannflächen etc. 
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| 23.04.2004, 18:26 | Usersguide | Auf diesen Beitrag antworten » |
| LambertW Wo gibts denn eigentlich weitere Infos zu dieser Funktion? |
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| 23.04.2004, 18:37 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wie immer findet man zumindest einen kurzen Überblick bei mathworld: http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html |
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