Unabhängigkeit Gleichverteilung

18.11.2014, 20:09

Malicious

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Unabhängigkeit Gleichverteilung

Meine Frage:
Servus,

Folgende Aufgabenstellung:

Es sei Omega ={1,2,...,p}, wobei p eine Primzahl ist, mit der Gleichverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Die Ereignisse A,B $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ Omega seien unabhängig.

Zeigen Sie, dass dann mindestens eins der Ereignisse A und B das sichere oder das unmögliche Ereignis ist.

Meine Ideen:
Was weiß ich:

(1) A und B sind unabhängig, also gilt: P(A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B) = P(A)* P(B).

(2)Und wegen der Gleichverteilung gilt, dass jedes Element gleichwahrscheilich ist mit P(k)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

(3) Für die Menge A haben wir deswegen die WK P(A)= $\begin{eqnarray*} \frac{|A|}{n} \end{eqnarray*}$ (also die ANzahl der Elemente der Menge durch die Gesamtzahl).

(4) Die Teilbarkeitslehre ganzer Zahlen sagt, p = a*b $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ p teilt a oder p teilt b

Aber wie gehts jetzt weiter?

Muss ich (1) bis (4) irgendwie in P(A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B) = P(A)* P(B) reinstecken, auflösen oder wie?

Hilfe...

18.11.2014, 22:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malicious
Muss ich (1) bis (4) irgendwie in P(A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B) = P(A)* P(B) reinstecken, auflösen oder wie?

"Auflösen" nicht, aber Teilbarkeitsbetrachtungen gemäß (4) vornehmen. Und statt $\begin{align*} n \end{align*}$ hättest du in (2),(3) besser $\begin{align*} p \end{align*}$ schreiben sollen, denn das ist hier die Elementzahl in $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ .

EDIT: Ach ja, und (4) hast du falsch formuliert, das sollte sinngemäß eigentlich so lauten:

Zitat:

(4) Die Teilbarkeitslehre ganzer Zahlen sagt

p teilt a*b $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ p teilt a oder p teilt b

18.11.2014, 23:03

Malicious

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Ja, also irgendwie verstehe ich genau den Zusammenhang mit der Unabhängigkeit und der teilbarkeit nicht.

Was mach ich den mit diesem Ausdruck bzw. Was bedeutet das? P(A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B) = (|A|/p) *(|B|/p)

18.11.2014, 23:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malicious
Was bedeutet das? P(A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B) = (|A|/p) *(|B|/p)

Weiter! Links in der Gleichung ist auch noch was zu ersetzen gemäß (3). Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.11.2014, 09:04

Malicious

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ähh links in der Gleichung auch verwirrt

verwirrt

... meinst du so

$\begin{eqnarray*} \frac{|A| \cap |B| }{p} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{|A|}{p} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{|B|}{p} \end{eqnarray*}$

19.11.2014, 09:12

HAL 9000

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$\begin{align*} |A|\cap |B| \end{align*}$ ist Blödsinn - wie soll man denn zwei Anzahlen "schneiden" ? unglücklich

unglücklich

Richtig wäre da $\begin{align*} |A\cap B| \end{align*}$ , und multipliziert mit $\begin{align*} p^2 \end{align*}$ wird daraus

$\begin{align*} |A\cap B| \cdot p = |A| \cdot |B| \end{align*}$ .

Und nun das korrigierte (4) anwenden.

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19.11.2014, 09:49

Malicious

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also ich muss doch jetzt die Eingeschaften von p benutzen, muss ich dann ein Beweis mit hin und rückrichting machen?

Ich verstehe das irgendwie nicht, mit Zahlen ist das viel einfacher ... -.-

19.11.2014, 11:35

HAL 9000

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Die linke Seite ist offenbar durch $\begin{align*} p \end{align*}$ teilbar, wegen der Gleichheit dann auch die rechte Seite $\begin{align*} |A|\cdot |B| \end{align*}$ . Dies

Zitat:

(4) Die Teilbarkeitslehre ganzer Zahlen sagt

p teilt a*b $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ p teilt a oder p teilt b

darauf angewandt bedeutet nun, dass mindestens eine der beiden Zahlen $\begin{align*} |A| \end{align*}$ oder $\begin{align*} |B| \end{align*}$ durch $\begin{align*} p \end{align*}$ teilbar sein muss...

19.11.2014, 12:26

Malicious

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Ahaa ok, aber impliziert das auch, dass mindestens eins der Ereignisse A und B das sichere oder das unmögliche Ereignis ist?

Muss ich dann noch argumentieren?

19.11.2014, 13:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malicious
Ahaa ok, aber impliziert das auch, dass mindestens eins der Ereignisse A und B das sichere oder das unmögliche Ereignis ist?

Ja - wenn du mal ein wenig überlegst (statt immer gleich ohne jedes Nachdenken weiter mit Fragen zu löchern böse

böse

), wellche Werte |A| und |B| überhaupt nur annehmen können.

19.11.2014, 19:01

Malicious

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Bin wieder da, also |A| UND |B| können die Werte 1 (sicheres Ereignis) und 0 ( unmögliches Ereignis) annehmen...

Stimmt meine Aussage?

19.11.2014, 23:24

Malicious

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Lieber Helfer,

bist du noch da? Oder irgendjemand?

19.11.2014, 23:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malicious
Bin wieder da, also |A| UND |B| können die Werte 1 (sicheres Ereignis) und 0 ( unmögliches Ereignis) annehmen...

Unsinn.

$\begin{align*} |A| \end{align*}$ ist die Mächtigkeit der Menge $\begin{align*} A \end{align*}$ , also die Anzahl der Elemente in $\begin{align*} A \end{align*}$ .

Da $\begin{align*} A\subset\Omega \end{align*}$ , und $\begin{align*} |\Omega|=p \end{align*}$ , so kann $\begin{align*} |A| \end{align*}$ nur die Werte $\begin{align*} 0,1,\ldots,p \end{align*}$ annehmen.

Wenn nun aber $\begin{align*} |A| \end{align*}$ durch $\begin{align*} p \end{align*}$ teilbar ist, dann bleiben von $\begin{align*} 0,1,\ldots,p \end{align*}$ nur welche Werte übrig? Und welche Wahrscheinlichkeiten $\begin{align*} P(A) \end{align*}$ bedeutet dies dann?

Bin für heute dann weg. Wink

Wink

20.11.2014, 09:49

Malicious

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Wenn nun aber |A| durch p teilbar ist, dann bleiben von 0,1,…,p nur welche Werte übrig? Und welche Wahrscheinlichkeiten P(A) bedeutet dies dann?

Kannst du mir bitte noch sagen, warum |A| die Werte 0,1,..,p annehmen kann also ich weiß nicht warum diese NULL noch dabei ist? woher kommt die NULL, in Omega gib's doch keine NULL verwirrt

verwirrt

Naja aufjedenfall zu deiner obigen Frage, was denn nun übrig bleibt, wenn |A| durch p teilbar ist, dann bleiben die Werte 1,..,p übrig....

und die zweite Frage verstehe ich nicht, ich dachte P(A) = $\begin{eqnarray*} \frac{|A|}{p} \end{eqnarray*}$

warum verstehe ich das gerade nicht unglücklich

unglücklich

20.11.2014, 15:00

HAL 9000

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Erneut fürchterlich viel Unsinn - ich weiß nicht, welche Vorstellung du hier von den möglichen Ereignissen hast, vermutlich gar keine. unglücklich

unglücklich

$\begin{align*} \Omega = \{1,2,\ldots,p\} \end{align*}$ ist die Grundmenge, und für $\begin{align*} A,B \end{align*}$ sind zunächst ALLE Teilmengen davon möglich.

Und wenn $\begin{align*} A \end{align*}$ leer ist, dann ist selbstverständlich $\begin{align*} |A|=0 \end{align*}$ , und dieser Wert 0 IST EBENFALLS DURCH $\begin{align*} p \end{align*}$ TEILBAR!!!

20.11.2014, 16:13

Malicious

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Aber was ist denn jetzt in meinem Fall das sichere bzw das unmögliche Ereignis, du hast doch gesagt das |A| bzw. |B| die Werte 0,1,...,p annehmen können. Ein sicheres Ereignis für |A| wäre doch |A| = 1 die Antwort darauf gab es vielleicht schon, ich hab sie dann aber nicht verstanden, vielleicht kannst du mir das präziser erklären...

20.11.2014, 16:15

HAL 9000

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NEIN!!!

Du verwechselst ständig Mächtigkeit $\begin{align*} |A| \end{align*}$ mit Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{|A|}{p} \end{align*}$ . unglücklich

unglücklich

Es wäre an der Zeit, dass du den Unterschied endlich mal anerkennst.

20.11.2014, 16:32

Malicious

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Und wie siehts aus mit A = 1 und A= O ?

20.11.2014, 16:40

HAL 9000

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hoffnungsloser Fall - ich gebe auf

Zitat:

Original von Malicious
Und wie siehts aus mit A = 1 und A= O ?

Da meine Beiträge bei dir offenbar zu einem Ohr rein- und zum anderen undurchdacht wieder rausgehen, verabschiede ich mich hier. böse

böse

20.11.2014, 16:48

Malicious

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Ok schade, trotzdem danke

22.11.2014, 16:35

Malicious

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Hallo Leute,

Ich hab noch mal nachgedacht aber ich komme einfach nicht drauf wie ich von der teilbarkeit von P auf ein sicheres oder unmögliches Ereignis schließen kann?

In diesem Zusammenhang noch mal das folgende Zitat vom Helfer :" Wenn nun aber |A| durch p teilbar ist, dann bleiben von 0,1,…,p nur welche Werte übrig? Und welche Wahrscheinlichkeiten P(A) bedeutet dies dann?"

Vielleicht gibt es jemanden unter euch der das auch verstanden hat und mir noch.mal mit eigenen Worten wieder geben kann, das wäre ganz nett....am Ende möchte ich es auch verstehen...

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