Berechnung aller imaginären Zahlen

18.11.2014, 22:58	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung aller imaginären Zahlen Meine Frage: Hallo, ich sitze momentan vor folgender Übungsaufgabe: Man berechne alle imaginären Zahlen z (Realteil von z ist 0), die die Beziehung $\begin{eqnarray} \|z-(-4+j)\|\geq 5 \end{eqnarray}$ erfüllen. Meine Lösung soll sein: $\begin{eqnarray} z = x+yj \Rightarrow\|(x+4)+(y-1)j\|\geq 5 \end{eqnarray}$ : Kreis um M(-4;1) mit dem Radius 5; Schnittpunkt mit den imaginären Achsen: Realteil x =0; Imaginärteil $\begin{eqnarray} y_1\geq 4; y_2\leq -2 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich hab das ganze über die Kreisgleichung berechnet, also $\begin{eqnarray} r^2 \geq (x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2<br /> 5^2 \geq (x_1 +4)^2 + (y_1 -1)^2<br /> 25 \geq (x_1 +4)^2 + (y_1 -1)^2 \end{eqnarray}$ Für meinen Mittelpunkt M bekomme ich also wie angegeben M(-4;1) und den Radius r=5. Nun habe ich umgeformt: $\begin{eqnarray} \|(x+4)+(y-1)\| \geq 5<br /> \sqrt{4^2 + (y-1)^2} \geq 5<br /> \sqrt{16+y^2 -2y + 1}\geq 5 \end{eqnarray}$ Dann habe ich die radiziert... $\begin{eqnarray} \sqrt{17} + y-\sqrt{2y} \geq 5<br /> y- \sqrt{2y} \geq 5 -\sqrt{17} \end{eqnarray}$ Und nun nochmal potenziert... $\begin{eqnarray} y^2-2y \geq 8<br /> y - 2y - 8 \geq 0 \end{eqnarray}$ Durch die p,q-Formel bin ich dann auch tatsächlich auf die richtigen Ergebnisse $\begin{eqnarray} y_1=4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_2=-2 \end{eqnarray}$ gekommen. Aber ich habe so im Gefühl, dass das Glückssache war, oder? Spätestens beim Potenzieren hätte ich doch die binomischen Formeln nutzen müssen? Aber wenn ich es auf diesem Wege versuche, komme ich mit meinem Rechenweg nicht weiter. Kann mir bitte jemand helfen?
19.11.2014, 00:31	Hausmann	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung aller imaginären Zahlen Moin! Als Versuch einer Abwandlung Deiner Lösung vielleicht: Mit den Punkten $\begin{eqnarray} M(-4\|1), (0\|1), (0,y_1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \cos \alpha =\frac{4}{5} \end{eqnarray}$ und wg $\begin{eqnarray} \cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \alpha}}\Rightarrow \tan \alpha=\frac{3}{4}\Rightarrow y_1=4 \end{eqnarray}$ usw. mfG
19.11.2014, 08:55	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier verstehe ich einiges nicht. Zum Beispiel wie du auf deine zusätzlichen Punkte kommst. Die Winkelbeziehungen sind mir bekannt (allerdings wäre ich nie auf den Gedanken gekommen, diese hier zu verwenden ), auch begreife ich den Weg zu $\begin{eqnarray} tan \alpha=\frac{3}{4} \end{eqnarray}$ , aber wie du dann plötzlich auf $\begin{eqnarray} y_1=4 \end{eqnarray}$ kommst, erschließt sich mir nicht?
19.11.2014, 10:46	Hausmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen, hier fehlt natürlich die Skizze, ich hoffe aber, daß sie Dir von der eigenen Rechnung her schon vorliegt. Zweitens bin ich mir völlig ungewiß, ob diese situationsangepaßte geometrische Spielerei Dir irgendwas bringt. Deshalb nur ganz kurz der letzte Punkt $\begin{eqnarray} \tan \alpha = \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ = Gegenkathete : Ankathete (unten) = 3 : 4. Durch den Mittelpunkt M(-4\|1) ist die Ankathete = 4, also geht es von y = 1 noch 3 "hoch" -> y_1 = 4. Und wegen der Symmetrie ist y_2 = -2 - Deine bekannte Lösung also. mfG!

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