Monoton wachsende Folge von Maßen

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panspeter123 Auf diesen Beitrag antworten »
Monoton wachsende Folge von Maßen
Hallo,
Hier eine weitere Aufgabe aus einer alten Analysis 3 Klausur.

Es sei eine Folge von Maßen auf , so dass für alle die Folge monoton wachsend ist. Zeige, dass ein Maß auf ist.

Meine Ideen:

ist nach Voraussetzung Algebra .
ist ebenfalls klar.

Additivität:
Seien C,D disjunkt. Dann ist


Bleibt die sigma-additivität zu zeigen. Hier bin ich mir unsicher, bitte um feedback.
Mein versuch:

Seien paarweise disjunkt.
1.Fall: . Dann kann man den Limes und die Summe vertauschen und die sigma additivität folgt.

2. Fall:

Dann gilt die Gleichheit, weil beide seiten Unendlich sind.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die endliche Addititvität kannst du eigentlich weglassen. Sie folgt doch aus Additivität.

Zitat:
Seien paarweise disjunkt.

Das gehört ganz an den Beginn des Beweises der Additivität.


Zitat:


Du meinst hier ganz rechts bestimmt , richtig? Du kannst hier zum Beispiel als Funktionenfolge auf betrachten, indem du und identifizierst. Dann folgt die Vertauschbarkeit aus dem Satz über monotone Konvergenz.
Warum in deiner Argumentation die Vertauschbarkeit folgt, kann ich nicht so ganz nachvollziehen.
panspeter123 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Du meinst hier ganz rechts bestimmt , richtig?

Ja klar, sorry!

Danke für die Hilfe, also wenn ich dich richig verstehe heißt das, dass die letzte benötigte gleichheit folgt, weil die Folge der Maße monoton wachsend ist, und man daher limes und summe vertauschen darf wegen dem Satz über monotone konvergenz?!
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig. Aber ist dir auch klar, warum dieser Satz hier anwendbar ist? Darauf kommt es ja an (dass du es verstehst).
panspeter123 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt:
,
weil nichtnegative monoton wachsende Folge ist.

Ist das noch nicht die komplette erklärung, bzw habe ich noch verständnisprobleme ?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie genau ihr das ausgeführt habt, weiß ich nicht. Aber bei uns galt der Satz über monotone Konvergenz zunächst erstmal für Funktionenfolgen auf einem Maßraum. Was ist denn hier genau der Maßraum? Da deine Maße auf leben, bräuchtest du ja dafür zunächst mal eine Sigma-Algebra und ein Maß auf A. Wie sähe das aus?

Wie gesagt, das braucht man alles nicht, wenn man das ein wenig anders angeht. Aber es sollte schon klar sein, dass es da Probleme bei geben könnte und wie man alles in einen Kontext rückt, wo die Anwendung von Beppo Levi Sinn macht.

Anders sieht es halt aus, wenn ihr in der Vorlesung einen Satz gezeigt habt, der euch genau in einer solchen Situation das Vertauschen von Limes und Summe erlaubt.
 
 
DiskreteZahl Auf diesen Beitrag antworten »

Der Thread ist nun doch schon einige Jährchen alt, aber vielleicht könnte man ihn wiederbeleben.

Wie funktioniert das mit der monotonen Konvergenz auf Maße übertragen?
Bei uns in der Vorlesung wurde diese wie folgend behandelt:
Gegeben sei ein Maßraum (X,A,¼) und eine monoton steigende Folge von nichtnegantiven meßbaren Funktionen und außerdem die Funktion f die Elemente von X auf den limes von fn(x) abbildet.
Dann gilt: f ist meßbar und das Integral über f ist gleich dem limes der Integrale über fn.

LG
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Maßraum ist , wobei das Zählmaß ist.

Definieren wir , so konvgieren die monoton gegen .

Es gilt außerdem.
.
Dafür muss man wissen, dass Integrale bezüglich des Zählmaßes gerade Summen entsprechen, das lässt sich aber leicht nachrechnen, wenn man es nicht weiß.

Hier kannst du nun monotone Konvergenz benutzen, um den Limes ins Integral zu ziehen.
DiskreteZahl Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank. Jetzt versteh ichs.
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