Lineare Unabhängigkeit

19.11.2014, 23:01

phi28

Lineare Unabhängigkeit

Hallo,

komme bei folgender Aufgabe überhaupt nicht weiter. Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.
Wie untersuche ich die lineare Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} v_{1}, v_{2}, v_{3} \end{eqnarray*}$ (K=Q, V=R)

$\begin{eqnarray*} v_{1}=1, v_{2} = \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_{3}=\sqrt[3]{4} \end{eqnarray*}$

Danke im Voraus!

20.11.2014, 07:59

bijektion

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Dann dann versuch mal $\begin{eqnarray*} \lambda_1\cdot v_1+\lambda_2\cdot v_2+\lambda_3\cdot v_3=0 \end{eqnarray*}$ zu lösen, wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_j\in\mathbb{K} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{K}\in\lbrace \mathbb{R},\mathbb{Q} \rbrace \end{eqnarray*}$ .

20.11.2014, 14:52

phi28

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Zitat:

Original von bijektion
Dann dann versuch mal $\begin{eqnarray*} \lambda_1\cdot v_1+\lambda_2\cdot v_2+\lambda_3\cdot v_3=0 \end{eqnarray*}$ zu lösen, wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_j\in\mathbb{K} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{K}\in\lbrace \mathbb{R},\mathbb{Q} \rbrace \end{eqnarray*}$ .

Ja der Ansatz ist mir schon klar, nur weiß ich leider nicht weiter.

20.11.2014, 15:42

bijektion

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Stichwort: Koeffizientenvergleich.

20.11.2014, 15:55

phi28

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Zitat:

Original von bijektion
Stichwort: Koeffizientenvergleich.

Brauche einen Ansatz... verwirrt

20.11.2014, 16:23

bijektion

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$\begin{eqnarray*} \lambda_1\cdot v_1+\lambda_2\cdot v_2+\lambda_3\cdot v_3=0 \end{eqnarray*}$ , wurde doch schon genannt.

Erster Fall ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{K}=\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ .

20.11.2014, 17:10

phi28

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Was meinst Du mit erster Fall?

21.11.2014, 09:28

bijektion

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Na wenn die $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ rational sind. Beachte, dass $\begin{eqnarray*} v_2,v_3\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ !

21.11.2014, 12:15

phi28

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Zitat:

Original von bijektion
Na wenn die $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ rational sind. Beachte, dass $\begin{eqnarray*} v_2,v_3\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ !

Tut mir leid aber ich verstehe nicht was du damit sagen willst. Du hast doch lediglich die Bedingung wiederholt?

21.11.2014, 13:01

bijektion

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Mehr braucht man auch nicht! Ich rechne dir das hier nicht 1 zu 1 vor, du musst einfach mal hinschreiben was du weißt.

Dann halt so: Wähle $\begin{eqnarray*} \lambda_1=1 \end{eqnarray*}$ , kann es jetzt $\begin{eqnarray*} \lambda_2,\lambda_3\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ geben, sodass $\begin{eqnarray*} 1+\lambda_2\cdot \sqrt[3]{2}+\lambda_3\cdot\sqrt[3]{4}=0 \end{eqnarray*}$ ist?
Nein, denn $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4}\notin\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ .

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