Polynomdivision mit Rest

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20.11.2014, 09:27	mimimausi97	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomdivision mit Rest Meine Frage: Hallo! Ich soll eine PBZ machen. Aber der Grad von dem Zähler ist größer als der von dem Nenner. Ich habe jetzt im Internet geguckt und angeblich muss ich die dann polynomdividieren. Hab ich gemacht. Jetzt habe ich einen Rest übrig mit dem ich nicht weiß was ich machen soll. Und ich weiß nicht ob die Division so okay ist, also ob ich durch so einen großen Term überhaupt dividieren darf oder ob ich den vorher noch zerlegen muss Meine Ideen: Also die Rechnung war die: $\begin{eqnarray} \left(x^{5} -7x^{4}+ 6x^{3} +5x^{2}+3 x +2\right):\left(x^{3} -3x^{2} -x+3 \right)=x^{2} -4x+21 \end{eqnarray}$ Und der Rest war $\begin{eqnarray} 61x^{2}+36x-61 \end{eqnarray}$ Ich bin mir total unsicher ob das so okay ist und wie ich jetzt weitermachen soll??? (((
20.11.2014, 09:49	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
der Ansatz stimmt. Du hast dich aber verrechnet. Überprüfe deine Rechnung. Danach arbeitet man mit dem Restpolynom weiter. Wenn du soweit bist, können wir dort fortfahren.
20.11.2014, 10:05	mimimausi97	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm jetzt hab ich als Rest -59x^2-4x+59 und als Ergebnis x^2-4x-19. Das kommt mir noch falscher vor als das erste mal :-/
20.11.2014, 10:08	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
das richtige Ergebnis der Polynomdivision ist $\begin{eqnarray} x^{2} -4x-5+\frac{-17x^{2} +10x+17}{x^{3} -3x^{2} -x+3} \end{eqnarray}$
20.11.2014, 10:13	mimimausi97	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich werd's nachher nochmal durchgehen und kontrollieren wo mein Fehler ist. Also, der Zähler im Bruch ist der Rest, oder? Der Nenner ist der ursprüngliche Nenner und das was davor steht das Ergebnis aus der Polynomdivision...? Und wie mach ich jetzt weiter?
20.11.2014, 10:18	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
genau. Uns interessiert jetzt erstmal nur der Bruch. Um die PBZ ansetzen zu können, muss dieser faktorisiert werden. Bei einem Polynoim dritten Grades geht das nicht ohne Weiteres. Am muss eine Nullstelle "raten", um danach erneut eine Poylnomdivision durchzuführen. Man erhält dann ein Polynom zweiten Grades, was sich mit pq-Formel weiter faktorisieren lässt. Hat du eine Idee, welche NS der Nenner hat?
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20.11.2014, 10:21	mimimausi97	Auf diesen Beitrag antworten »
1 ist eine Nullstelle davon. Okay, das heißt ich mach dann mal für den Bruch weiter wie bei jeder anderen PBZ oder? Und was passiert dann mit dem was vor dem Bruch steht?
20.11.2014, 10:25	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
Richig, 1 ist NS. Mit dem Polynom vor dem Bruch passiert eigentlich nichts mehr. Das Endergebnis sieht nachher so aus: $\begin{eqnarray} x^{2} -4x-5+ \frac{...}{x+1} +\frac{...}{x ...} +\frac{...}{x ...} \end{eqnarray}$
20.11.2014, 10:28	mimimausi97	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja fast schon lächerlich einfach :o Vielen vielen Dank du hast mir ungemein geholfen!
20.11.2014, 10:31	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne. Wenn du magst, kannst du nachher dein Ergebnis zur Kontrolle posten. Musst du aber nicht
20.11.2014, 10:35	mimimausi97	Auf diesen Beitrag antworten »
Werd ich machen! Darf ich dir noch eine Frage stellen? Ich habe eine rationale Funktion gegeben und erhalte unter anderem imaginäre Nullstellen. Darf ich das dann lösen oder endet die Spielerei in dem Moment in dem ich die imaginären Nullstellen erhalten habe? Sie fallen mir dann beim ausmultiplizieren bevor ich das LGS aufstelle alle weg aber unterm Bruch bleiben sie doch stehen....
20.11.2014, 10:42	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls du imaginäre NS erhältst, liefert das auch immer die komplex konjugierte NS. Diese beiden werden miteinander multipliziert, um ein reelles Polynom zu erhalten. Bsp. Du hast als NS i, damit ist auch -i eine NS. Man rechnet dann: $\begin{eqnarray} (x-i)(x+i)=x^2+1 \end{eqnarray}$ . Der Ansatz für die komplexe NS sieht dann allerdings ein wenig anders aus. Bezogen auf obiges Bsp. $\begin{eqnarray} \frac{ax+b}{x^2+1} \end{eqnarray}$
20.11.2014, 10:53	mimimausi97	Auf diesen Beitrag antworten »
Moment, das verstehe ich nicht ganz. Also auch wenn meine Nullstellen imaginär sind darf ich die rationale Funktion lösen? Ich habe als konkretes Beispiel gegeben: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{x^{2} +3x+2}{\left(x+2\right)\left(x^{2}+2x+2\right)^{2} }<br /> \end{eqnarray}$ Die erste Nullstelle ist -2 und dann gibt es noch je zwei doppelte die (-1+i) und (-1-i) sind (vorausgesetzt ich hab mich nicht verrechnet ) Dh der Nenner müsste doch dann sein (x+2)(x-(-1-i))^2 (x-(-1+i)^2. Oder???
20.11.2014, 11:30	mimimausi97	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm, ich glaube ich hab jetzt ein bisschen mehr Durchblick. Ich erhalte als zerlegten Nenner (x+2)(x-1-i)^2(x-1+i)^2. Wenn ich den mittleren und letzten Part ausmultipliziere komme ich doch wieder zum Ausgangsnenner (soll ja auch so sein, ne?). Aber wenn ich dieses ganze Prozedere mit Gleichung aufstellen, mit dem zerlegten Nenner multiplizieren, ausmultiplizieren durchmach dann dauert das ja ewig. :o Kann ich das nicht irgendwie abkürzen?
20.11.2014, 11:37	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast dich nicht verrechnet. Wenn man noch das (x+2) kürzt, erhält man als Ansatz: $\begin{eqnarray} \frac{Ax+B}{x^2+2x+2} +\frac{Cx+D}{\left(x^2+2x+2\right)^{2} } \end{eqnarray}$
20.11.2014, 11:37	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
naja, das Prozedere kann schon etwas Zeit in Anspruch nehmen
20.11.2014, 11:39	mimimausi97	Auf diesen Beitrag antworten »
Haaaalt! Ich hab mich geirrt Der Nenner muss zerlegt (aufgrund der 2 doppelten Nullstellen) zerlegt(x+2)(x-1-i)(x-1-i)^2(x-1+i)(x-1+i)^2 sein... Oder? (Sorry für den Dreifachpost)
20.11.2014, 11:46	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die kompl. NS miteinander multiplizierst, erhältst du wieder das Ausganspolynom. Es wird dann mit dem Ansatz gerechnet, den ich genannt habe: $\begin{eqnarray} \frac{x+1}{\left(x^2+2x+2\right)^{2}} = \frac{Ax+B}{x^2+2x+2} +\frac{Cx+D}{\left(x^2+2x+2\right)^{2} } \end{eqnarray}$
20.11.2014, 11:57	mimimausi97	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hast du mich komplett verloren. Das (x+2) kann ich kürzen weil im Zähler (x+2)(x+1) steht, okay. Dann erhalte ich habe: $\begin{eqnarray} \frac{x+1}{\left(x^2+2x+2\right)^{2}} \end{eqnarray}$ Aber wie mach ich dann weiter? Sorry ich blick gerade gar nicht mehr durch
20.11.2014, 12:03	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
das tut mir Leid. Es gilt folgende Regel (ich kopiere mal dreist): Faktoren, die mehrfach auftreten, werden in allen Potenzen bis zur vorliegenden angesetzt. Die jeweiligen Zähler werden bei linearen Nennern konstant und bei quadratischen Nennern linear angesetzt — unabhängig von etwaigen Potenzen. Noch etwas: Wenn alle Koeffizienten des Ausgangspoylnoms reell sind, gibt es nur konjugiert komplexe NS. Man lässt dann das (Teil-)Polynom, das nur kompl. NS hat, einfach so stehen.

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