Ebene

20.11.2014, 13:12

andyxz

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Ebene

Meine Frage:
Hallo guten Tag leute ,

ich habe schwierigkeiten bei dieser Aufgabe :

Gegeben sei die Ebene

E: $\begin{eqnarray*} x_1 + 2x_2 -2x_3 = 9. \end{eqnarray*}$

(a) Bestimmen Sie die hessesche Normalform von E und deren Abstand zum Ursprung.
(b) Geben Sie eine Parameterdarstellung von E an.

Meine Ideen:
leider noch keine

Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, zweiten Beitrag gelöscht, damit der Antwortzähler auf Null steht. Steffen

20.11.2014, 15:38

Dopap

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RE: Ebene

Zitat:

Original von andyxz

E: $\begin{eqnarray*} x_1 + 2x_2 -2x_3 = 9. \end{eqnarray*}$

(a) Bestimmen Sie die hessesche Normalform von E und deren Abstand zum Ursprung.

Das könnte man auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \vec x \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} -9=0 \end{eqnarray*}$

Für die Hessesche Normalenform sollte aber der Normalenvektor den Betrag 1 haben.

Wenn du die momentane Länge ( Betrag ) des Normalenvektors berechnest hast ( wie? ), dann sollte man die Gleichung mit diesem Wert dividieren.

20.11.2014, 15:52

andyxz

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Kannst du mir erklären was ich genau als nächstes machen muss? smile

smile

20.11.2014, 16:01

Dopap

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RE: Ebene
$\begin{eqnarray*} \vec x \cdot \color{red} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \color{black} -9=0 \end{eqnarray*}$

berechne den Betrag ( Länge ) des roten Normalenvektors.

20.11.2014, 16:06

andyxz

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Hab grad den letzten Satz gelesen Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} |l| = \sqrt{1²+2²+2²} = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\vec x \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} -9=0}{3} \end{eqnarray*}$

Wie gehts weiter?

20.11.2014, 16:31

Dopap

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der Ansatz zum Abstand eines Punktes P von der Ebene ist

$\begin{eqnarray*} d(E,P)=\bigg |\frac{\vec p \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} -9=0}{3} \bigg | \end{eqnarray*}$

und P ist einfacherweise der Urprung O...

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20.11.2014, 16:37

andyxz

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Jetzt verstehe ich es Big Laugh

Big Laugh

.

Hast du noch paar Tipps für die b) für mich ?

20.11.2014, 17:02

Dopap

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b.)

1.) man bestimme 2 verschiedene senkrechte Vektoren zum Normalenvektor = Richtungsvektoren + beliebigen "Stützvektor"

2.) man wähle 2 der Variablen als Parameter und schreibe die Gleichung um.

20.11.2014, 17:53

andyxz

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Wie berechne ich erstmal den Richtungsvektor bei der b) ?

So gut bin ich nicht bei diesem thema. verwirrt

verwirrt

20.11.2014, 18:01

Dopap

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eine Ebene hat 2 "Richtungsvektoren" , Spannvektoren genannt.

$\begin{eqnarray*} \vec x = \vec a +\lambda \vec u + \mu \vec v \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda , \mu \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

es muss gelten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \vec u=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \vec v=0 \end{eqnarray*}$

20.11.2014, 18:07

andyxz

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$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \vec{a} +\vec{u} *\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}+\vec{v} * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

LGS ausrechnen jetzt?

20.11.2014, 18:10

Dopap

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Unfug !

erst u und v berechnen! (oder erraten )

20.11.2014, 18:16

andyxz

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Kann ich u und v als 1 wählen ?

Woher soll ich wissen , wie ich sie wählen soll?

20.11.2014, 18:25

Dopap

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u und v sind Vektoren !

es muss gelten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \vec u=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 1u_1+2u_2 -2u_3=0 \end{eqnarray*}$

jetzt kannst du 2 Variable frei wählen und die dritte dann ausrechnen.

20.11.2014, 18:28

andyxz

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u_1 = 1

u_2 = 2

also

1 + 4 -2u_3 = 0

5 = 2u_3

u_3 = 2.5

Was jetzt ?

20.11.2014, 18:41

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \vec u=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

prima. Jetzt dasselbe mit Vektor v

20.11.2014, 18:46

andyxz

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v_1 = 1

v_2 = 2

v_3 = -3/2,5

Die rechnungen gehen schnell Big Laugh

Big Laugh

Wenn die Hilfe gut ist.

Wie gehts weiter ?

20.11.2014, 18:52

Dopap

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leider zu schnell unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} v_1+2v_2-2v_3=0 \end{eqnarray*}$

aber jetzt bitte v1 und v2 variieren, denn sonst kommt wieder Vektor u raus, und das soll ja nicht sein, denn Vektor u und Vektor v sollen linear unabhängig sein.

20.11.2014, 19:05

andyxz

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v_1 = 0

v_2 = 3

6 = 2v_3

v_3 = 3

In Ordnung ?

20.11.2014, 19:12

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \vec v=\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

prima.

Und nun in die Parameterform einsetzen, und noch einen beliebigen Stützvektor a dazunehmen.

20.11.2014, 19:19

andyxz

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[quote]Original von andyxz
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \vec{a} +\vec{u} *\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}+\vec{v} * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \vec{a} +\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2,5 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 0 \\ 3\\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In Ordnung?

20.11.2014, 19:30

Dopap

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wie schon geschrieben ist das Unfug. Wo bleiben die Parameter ??

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \vec{a} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2,5 \end{pmatrix}+ \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 3\\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda , \mu \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

und es fehlt immer noch ein beliebiger Vektor a der Ebene

20.11.2014, 19:33

andyxz

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Zitat:

Original von Dopap
wie schon geschrieben ist das Unfug. Wo bleiben die Parameter ??

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \vec{a} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2,5 \end{pmatrix}+ \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 3\\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda , \mu \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

und es fehlt immer noch ein beliebiger Vektor a der Ebene

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\3 \\ 8 \end{pmatrix}+ \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2,5 \end{pmatrix}+ \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 3\\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was soll ich für lambda und u einsetzen?

20.11.2014, 19:43

Dopap

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da wird nichts eingesetzt, das ist schon die Parameterform.

und: wieso soll (1,4,8) ein Punkt der Ebene sein ?

Test: $\begin{eqnarray*} 1\cdot 1+2\cdot 4-2\cdot 8 \neq 9 \end{eqnarray*}$

kannst du das richtigstellen ?

20.11.2014, 19:46

andyxz

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verwirrt

Ich verstehe das nicht so ganz.

Wie soll ich auf den a) Vektor kommen ?

Kannst du mir das erklären ?

20.11.2014, 19:51

Dopap

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so ähnlich wie bei den Spannvektoren

$\begin{eqnarray*} 1a_1+2a_2-2a_3=9 \end{eqnarray*}$

wiederum 2 Variable frei wählen und die Dritte dann berechnen !

20.11.2014, 20:11

andyxz

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a1 =1

a2=2

a3= 3

OK

20.11.2014, 20:19

Dopap

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falsch.

Wieviel Versuche brauchst du noch?

20.11.2014, 20:27

andyxz

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Soll ich andere werte waehlen

20.11.2014, 20:33

Dopap

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ich helf mal:

setz doch brutal a2=a3=0 und dann ist a1=...

20.11.2014, 20:35

andyxz

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Dann ist a_1 = 0

Bin ich damit mit der b ) fertig oder wie ?

20.11.2014, 20:41

Dopap

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wo bist du eigentlich ?

$\begin{eqnarray*} 1a_1+2\cdot 0-2\cdot 0=9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1a_1+0+0=9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1a_1=9 \end{eqnarray*}$

ja, damit wäre b.) geschafft. smile

smile

20.11.2014, 20:54

andyxz

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Haha ja leider habe ich mich vertippt .

Die Aufgabe geht leider noch weiter .

c)
) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Ebene E an, die durch die Punkte
verläuft.
$\begin{eqnarray*} \vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} +\lambda *\begin{pmatrix} t \\0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(b) Bestimmen Sie die hessesche Normalform dieser Ebene und geben Sie den Abstand von E zum Ursprung an.
(c) Berechnen Sie alle Schnittpunkte der z-Achse mit der Ebene E.
(d) Geben Sie in Abhängigkeit von d > 0 alle Punkte auf der z-Achse an, die von E den Abstand d haben.

hast du tipps für die Teilaufgabe b

20.11.2014, 20:56

andyxz

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wobei t ein frei wählbarer Parameter aus R ist.
Für welchen Wert t ∈ R ist gt parallel zu E? Wie groß ist in diesem Fall der Abstand von gt zu E? Geben Sie in den
Fällen der Nichtparallelität den Schnittpunkt von E und gt
in Abhängigkeit vom Parameter t an.

Tschuldigung copy and paste Fehler.

Das ist die Aufgabe c)

Tipps ?

20.11.2014, 21:29

Dopap

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das wird etwas diffizil. Ich würde optisch sagen:

E: x2=1 ist die Ebenengleichung.

mach doch für diese Aufgabe einen neuen Thread auf, dann wird es Übersichtlicher und ich kann mal Pause machen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.11.2014, 21:34

andyxz

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Willst du nicht mehr weiter helfen Dopap ? geschockt

geschockt

20.11.2014, 23:21

Dopap

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falls gewünscht, hier geht es weiter:

Ebene 2

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