Vektorräume

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mathe_magier Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorräume
Meine Frage:
1) Gibt es einen R-Vektorraum V ? {0} mit nur endlich vielen Elementen? Beweisen oder widerlegen Sie.

2) Wir betrachten die ganzen Zahlen mit der gewöhnlichen Addition. Gibt es eine skalare Multiplikation *: Q X Z --> Z sodass (Z,+,*) ein Q-Vektorraum ist? Beweisen oder widerlegen Sie?

Meine Ideen:
zu 1) Die Idee war "einfach" einen UVR zu widerlegen. Mir ist klar, dass es außer dem 0-Vektor keinen Vektorraum mit nur endlich vielen Elementen im Bereich der reellen Zahlen geben wird; aber wie ich das widerlege ist die große Frage!
Zunächst war die Idee zu zeigen, dass es ohne 0 kein Vektorraum sein kann, aber theoretisch könnte man ja eine Menge {0,1,...,n} immer noch als Vektorraum erstellen. Es gibt ja nur vor, dass der Vektorraum nicht ausschließlich aus dem Nullvektor besteht.

zu 2) Mir kommt es komisch vor --> ich glaube man muss hier ebenfalls widerlegen. Aber wie man das tut? Ich habe wirklich gar keine Ahnung. :o

Hoffe sehr auf Tipps und Hilfen!

Grüße,
mathemagier
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
zu 1) Die Idee war "einfach" einen UVR zu widerlegen. Mir ist klar, dass es außer dem 0-Vektor keinen Vektorraum mit nur endlich vielen Elementen im Bereich der reellen Zahlen geben wird; aber wie ich das widerlege ist die große Frage!

Muss es über sein?

2) Welche Eigenschaften muss eine skalare Multiplikation denn erfüllen?
mathe_magier Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1) ich schätze schon, da es ein "reelle Zahlen"-vektorraum sein soll... Oder liege ich da falsch?
mathe_magier Auf diesen Beitrag antworten »

Und zu 2) es soll doch das Assoziativgesetz, das Distributivgesetz und das neutrale Einselement gelten!?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

1) Oh, da hab ich doch glatt das überlesen Hammer Dann überlegen wir uns mal, warum es soetwas nicht geben kann.

2) Kann man dann etwas passendes konstuieren?
mathe_magier Auf diesen Beitrag antworten »

Ja... verwirrt
Also die 0 kann ja jetzt doch drin sein.. Und mit {0,1} wäre 0+1 auch drin und 0*1 ebenso.. Von daher habe ich keine Idee, wie ich es widerlegen soll.. Bei {1} wäre 1+1 ja schon nicht mehr drin.. aber reicht das aus?

Und bei 2 habe ich einfach überhaupt gar keine Ahnung! Irgendwie weiß ich nicht, wie ich damit beginnen soll..
 
 
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Wir machen erstmal 1. Ist ein -Vektorraum und , dann gibt es . Mit liegt auch , jetzt musst du nur noch zeigen, dass für auch .
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