Alle Matrizen finden sodass A^2 = A

21.11.2014, 14:32

bob123

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Alle Matrizen finden sodass A^2 = A

Hallo, ich brauche nochmal Hilfe von euch,

[attach]36157[/attach]

Wie finde ich all jene? Einfach durch stumpfes ausprobieren? Wir haben glaube ich noch keinen Satz dazu gemacht, wie man solche findet. Als Hinweis lautet es nur:

Beachten Sie: FÜr x,y,z in R folgt aus xy = xz nicht notwendigerweise y = z, es könnte auch x = 0 sein.

Durch Probieren sollte es wohl klar sein, aber ich möchte eine richtige Lösung haben, ohne Probieren.

21.11.2014, 15:19

mYthos

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Bilde das Matrixprodukt A*A allgemein und vergleiche dann die Elemente der Produktmatrix mit jenen der Matrix A.
Du erhältst 4 Gleichungen in den Variablen x, y und z.

mY+

21.11.2014, 18:13

bob123

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x^2+y & x+z \\ xy+yz & z^2+y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & 1 \\ y & z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So und nun? Heißt das ich löse x²+y = x und x+z = 1 und xy+yz = y und z²+y = z ?

21.11.2014, 18:33

Leopold

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Ja, dieses Gleichungssystem lösen. Es bietet sich an, die erste Gleichung nach $\begin{align*} y \end{align*}$ und die zweite nach $\begin{align*} z \end{align*}$ aufzulösen und diese beiden in die dritte und vierte Gleichung einzusetzen. Wie ist das merkwürdige Ergebnis der Rechnung zu interpretieren?

21.11.2014, 18:51

tmo

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Weniger Gleichungen hat man durch folgende Überlegung:

Da oben rechts eine 1 steht, ist die Matrix keine Diagonalmatrix. Insbesondere hat das Minimalpolynom nicht Grad 1. Also stimmen Minimalpolynom und char. Polynom überein und sind gerade durch $\begin{align*} t^2-t \end{align*}$ gegeben. Nun berechnet man das char. Polynom der Matrix und hat durch Koeffizientenvergleich "nur" 2 Gleichungen.

Insbesondere wirst du mit Probieren hier nicht wirklich weit kommen. Es gibt nämlich unendlich viele Lösungen.

23.11.2014, 10:43

bob123

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Leopold, kannst du mir nochmal helfen? Ich versteh das noch nicht so ganz...

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24.11.2014, 10:01

bob123

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Push, kann jemand noch Hilfestellung geben?

24.11.2014, 10:40

RavenOnJ

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Dies sollte deinen Knoten auflösen:
$\begin{align*} 1=(x+z)^2=x^2+z^2+2xz\Rightarrow \operatorname{Spur}(A)=x+z=1= \operatorname{Spur}(A^2)=x^2+z^2+2y\Rightarrow y=xz \end{align*}$

Damit kannst du $\begin{align*} A \end{align*}$ durch einen Parameter ausdrücken, indem du nochmal $\begin{align*} x+z=1 \end{align*}$ benutzt.

24.11.2014, 10:45

bob123

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Hi, leider haben wir noch nichts mit Spur behandelt,

wir kennen bislang nur die Matrizenmultiplikation und Addition, sowie einheitsmatrizen und spezielle Matrizen in form von obere dreiecksmatrix und untere dreiecksmatrix und Diagaonalmatrix, aber dabei auch nur wie diese aussehen...

24.11.2014, 10:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von bob123
So und nun? Heißt das ich löse x²+y = x und x+z = 1 und xy+yz = y und z²+y = z ?

Zitat:

Original von Leopold
Ja, dieses Gleichungssystem lösen. Es bietet sich an, die erste Gleichung nach $\begin{align*} y \end{align*}$ und die zweite nach $\begin{align*} z \end{align*}$ aufzulösen und diese beiden in die dritte und vierte Gleichung einzusetzen.

Das sind doch sehr konkrete Handlungsempfehlungen, wo hängt es denn da noch?

24.11.2014, 10:53

RavenOnJ

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Dazu brauchst du auch nichts von Spur wissen. Die Gleichungen kannst du einfach so vom Hinsehen aufstellen.

24.11.2014, 11:13

bob123

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Okay, anscheinend hatte ich ein Rechenfehler drin...

Ich komme jetzt mit Nachrechnen auf:

Wenn ich die erste nach y umstelle und die zweite nach z und dann in die dritte und vierte einsetze:

$\begin{eqnarray*} x*(-x^2+x) + (-x^2+x)*(1-x) = y<br /> -x^3 + x^2 - x^2 + x^3 + x - x^2 = y<br /> x-x^2 = y \end{eqnarray*}$

Und in die vierte:

$\begin{eqnarray*} (1-x)^2 + (-x^2+x) = z<br /> 1-2x+x^2 - x^2 + x = z<br /> 1-x = z \end{eqnarray*}$

Es kommen also die selben Werte, wie für die vorher umgestellten Terme heraus.

24.11.2014, 11:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von bob123
Es kommen also die selben Werte, wie für die vorher umgestellten Terme heraus.

Eben! Was bedeutet, dass mit $\begin{align*} z=1-x \end{align*}$ und $\begin{align*} y=x-x^2 \end{align*}$ die dritte und vierte Gleichung automatisch erfüllt sind, d.h. sich keine weiteren Bedingungen an $\begin{align*} x \end{align*}$ herausstellen.

Damit sollte es dir möglich sein, die allgemeine Lösung mit Parameter $\begin{align*} x \end{align*}$ darzustellen.

24.11.2014, 11:36

bob123

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Okay, ich sehe hier die Lösung nicht,

ich dachte es sei dann egal was man für x einsetzt, aber so ist es nicht..
Muss ich da das Gleichungssystem lösen nach x? D.h. ein lineares Gleichungssystem aufstellen?
Sorry, ich steh gerade echt auf dem Schlauch..

24.11.2014, 11:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von bob123
ich dachte es sei dann egal was man für x einsetzt, aber so ist es nicht..

Doch, so ist es. Hören wir auf, wie die Katze um den heißen Brei zu schleichen:

$\begin{align*} y=x-x^2 \end{align*}$ und $\begin{align*} z=1-x \end{align*}$ in $\begin{align*} A = \begin{pmatrix} x & 1 \\ y & z \end{pmatrix} \end{align*}$ eingesetzt ergibt

$\begin{align*} A = \begin{pmatrix} x & 1 \\ x-x^2 & 1-x \end{pmatrix} \end{align*}$ mit $\begin{align*} x\in\mathbb{R} \end{align*}$ ,

und das ist (im Reellen) die allgemeine Lösung der Gleichung $\begin{align*} A^2=A \end{align*}$ im $\begin{align*} x\in\mathbb{R}^{2\times 2} \end{align*}$ für diese speziellen Matrizen mit 1 "rechts oben".

24.11.2014, 11:48

bob123

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Okay... Ja das erscheint mir klar, aber, nehmen wir an ich setze eine 2 für x ein:

d.h. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 1 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und das ist ja NICHT gleich A.

Schon gut, anscheinend muss man nur das "x" quadrieren und darf das Minus nicht quadrieren, alles klar!

Ich danke euch allen für die Hilfestellung!

24.11.2014, 11:55

HAL 9000

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Rechnen muss man natürlich können: Für $\begin{align*} x=2 \end{align*}$ ist $\begin{align*} y=x-x^2 = 2-2^2=-2 \neq 6 \end{align*}$ . Forum Kloppe

Forum Kloppe

24.11.2014, 11:59

bob123

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unglücklich

Tut mir leid, nicht schlagen!

Ich danke dir für deine Mithilfe, beim nächsten mal vielleicht ohne Schläge auf den Hinterkopf Big Laugh

Big Laugh

24.11.2014, 12:01

HAL 9000

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Das ist nun mal so: Wer mit "Aber"-Zeigefinger Beispiele präsentiert, die so daneben sind, kriegt zurecht Haue. Ist nicht bös gemeint. smile

smile

24.11.2014, 12:16

bob123

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Okay, ich habe mich entschlossen um den Umgang damit noch zu üben: Machen wir das gleiche Spiel mit anderen Werten, etwa:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} x & 0 \\ y & z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wieder A² = A.

Dann erhalte ich ja erstmal:
$\begin{eqnarray*} A^2 = \begin{pmatrix} x^2 & 0 \\ xy+yz & z^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, was tue ich nun hier? ich kann direkt x² und z² in die 3. Gleichung einsetzen, dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} x² * y + y * z² = y \end{eqnarray*}$

Würde es sich hier empfehlen die Wurzel zu ziehen?

24.11.2014, 12:51

Leopold

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Du bekommst doch in $\begin{align*} A^2 = A \end{align*}$ durch Vergleich links oben $\begin{align*} x^2 = x \end{align*}$ und rechts unten $\begin{align*} z^2 = z \end{align*}$ . Daraus läßt sich ja eine gehörige Portion Information über $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} z \end{align*}$ herausbekommen (quadratische Gleichungen, am besten durch Faktorisierung lösen; oder heftig nachdenken, welche Zahlen es sind, die sich beim Quadrieren reproduzieren). Gehe alle möglichen Fälle durch und betrachte zu guter Letzt auch noch die Stelle links unten: $\begin{align*} xy + yz = y \end{align*}$ , und zwar mit den dann schon bekannten Werten für $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} z \end{align*}$ .

24.11.2014, 12:58

bob123

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Naja, bei Quadratischen ausdrücken ist ja der Ausdruck selber IMMER positiv.
D.h. ich kann negative Zahlen einsetzen und es kommt immernoch positiv hinterher raus.

Ich kann den Term xy+yz = y ausklammern: y(x+z) = y
An dieser Stelle kann ich sicherlich teilen: x+z = 1... d.h. ich weiß x²+z² = 1 Heißt das, die Gleichung A² = A trifft nur zu für x = 1 und z = 0 oder andersrum?

24.11.2014, 13:27

RavenOnJ

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Wir haben dir doch schon die praktisch vollständige Lösung präsentiert. Was gibt es da noch zu räsonieren? Arbeite beispielsweise mit einer Skalierung, im folgenden Sinne:
$\begin{align*} A=n\begin{pmatrix}x&1\\ y&z\end{pmatrix} \end{align*}$

Für die allgemeinste Lösung mit $\begin{align*} A_{12}\not=0 \end{align*}$ kann jede Matrix in dieser Form angegeben werden.

24.11.2014, 13:29

bob123

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Als Übung habe ich jetzt statt der 1 oben rechts durch eine 0 ersetzt, ich möchte es besser verstehen und deshalb mach ich es nochmal als Übung. Spricht da was gegen?

24.11.2014, 13:40

Leopold

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Zitat:

Original von bob123
Naja, bei Quadratischen ausdrücken ist ja der Ausdruck selber IMMER positiv.

Ich weiß nicht, was das in diesem Zusammenhang hier soll.

Eigentlich habe ich es schon ausführlich dargelegt:

Zitat:

Original von Leopold
Du bekommst doch ... $\begin{align*} x^2 = x \end{align*}$ und ... $\begin{align*} z^2 = z \end{align*}$ ... heftig nachdenken, welche Zahlen es sind, die sich beim Quadrieren reproduzieren ...

24.11.2014, 13:46

RavenOnJ

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Zitat:

Original von bob123
Als Übung habe ich jetzt statt der 1 oben rechts durch eine 0 ersetzt, ich möchte es besser verstehen und deshalb mach ich es nochmal als Übung. Spricht da was gegen?

Es spricht nichts dagegen, du wirst nur nach ein paar Umformungen merken, dass die einzige Lösung die Einheitsmatrix ist.

Edit: Sorry, es gibt auch noch die Lösung $\begin{align*} A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&1\end{pmatrix} \end{align*}$ und natürlich die Triviallösung Nullmatrix.

24.11.2014, 13:46

bob123

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Achso, ja klar, ich bin heute echt mies drauf...

Klar, 0 und 1... Oh man, danke...

24.11.2014, 13:51

Leopold

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Und jetzt gehst du mit allen Kombinationen $\begin{align*} x \in \{ 0,1 \} \end{align*}$ und $\begin{align*} z \in \{ 0,1 \} \end{align*}$ in die Gleichung $\begin{align*} xy+yz = y \end{align*}$ und schaust, was sich für $\begin{align*} y \end{align*}$ ergibt.

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