Definitionsbereich?!?!?

18.08.2004, 12:44

eldios

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Definitionsbereich?!?!?

Moin!
Ich weiss zu diesem Thema gibt es schon ein paar threads aber ich habe da nicht ganz durchblicken können.
Meine Frage ist ich habe die Funktion :

x(x²-2x+1)/(x-1)(x+1)
und es soll der definitionsbereich D=R\{-1, 1} heraus kommen!
Wieso irgendwie hab ich gerade nen hänger.

Danke für eure Hilfe

18.08.2004, 12:46

hummma

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bei gebrochen rationalen Funktionen ist der Definitionsbereich immer
D=R \ {die nullstellen des nenners}

18.08.2004, 12:49

eldios

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das nenn ich aber mal ne schnelle antwort!
noch ne dumme frage voran erkenn ich ne gebrochen rationale funktion?
bzw wie bekomm ich den db heraus wenn es keine solche funktion ist?

18.08.2004, 12:52

therisen

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Eine gebrochenrationale Funktion erkennst du an dem Bruchstrich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten falls Wurzeln auftreten, darf der Radikand nicht negativ werden. Bei Logarithmus musst du auch aufpassen (R+). Das war's eigentlich.

Gruß, therisen

18.08.2004, 12:56

eldios

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danke ^^
nur um nochmal sicher zugehen! sobald ein burchstrich da ist muss der wertebereich immer die nullstellen des nenners?
was ist wenn nur eine klammer mit einer nullstelle im nenner steht?
dann hab ich ja nur einen wert des definitionsbereiches :rolleyes:

18.08.2004, 13:08

grybl

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Ein Bruchstrich allein ist nicht die Voraussetzung für eine gebrochenrationale Funktion, es muss schon eine Variable im Nenner stehen.

Beispiele:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2}{x-1} => \end{eqnarray*}$ D = R \ {1}

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2}{x^2-1} => \end{eqnarray*}$ D=R \ {-1;1}

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2}{(x-1)\cdot(x+2)} => \end{eqnarray*}$ D=R \ {-2;1}
smile

smile

@all:
kann mir bitte wer sagen, wie man \ mit latex macht Hilfe

Hilfe

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18.08.2004, 13:19

eldios

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hi! wieso ist deine letztrer db -2, 1???
müsste das nciht 2, -1 sein?

18.08.2004, 13:22

grybl

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nein! :P

x-1=0 <=> x=1

x+2=0 <=> x=-2

Daher wird der Nenner bei 1 und -2 0 und somit sind diese 2 Werte auszuschließen.

18.08.2004, 13:39

PSM

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Hier noch eine Aufgabe aus meiner Matheextemporale vom letzten Schuljahr für dich zur Übung:
Bestimme die Definitionsmenge des Terms
$\begin{eqnarray*} \frac{7}{-12x+4+9x^2} \end{eqnarray*}$

MfG
Patrick

18.08.2004, 14:09

hummma

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Zitat:

nur um nochmal sicher zugehen! sobald ein burchstrich da ist muss der wertebereich immer die nullstellen des nenners?

Ich hab den satzt zwar nicht ganz verstanden aber die wertemenge kann man nicht so einfach bestimmen

18.08.2004, 14:27

eldios

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hmm ich versteh den satz auch nicht ^^
aber ich meinte wohl das wenn ein bruchstrich in der funktion vorkommt, dass der db immer durch die nullstellen die im nenner vorhanden sind beschrieben wird?

**EDIT**
kann es sein das der db
d=R\{ $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ ist?

18.08.2004, 15:01

Philipp-ER

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Ja, deine Lösung stimmt.
Zu deiner Frage:
Nur der Definitionsbereich gebrochenrationaler Funktionen wird eindeutig durch die Nullstellen des Nenners festgelegt.
Dabei erkennt man eine gebrochenrationale Funktion jedoch keineswegs, wie therisen sagte, am Bruchstrich, lediglich der Quotient zweier Polynome ist Funktionsterm einer gebrochenrationalen Funktion.
So hat der Funktionsterm von $\begin{eqnarray*} x\mapsto \frac{x^2+\sqrt{x}}{1-x} \end{eqnarray*}$ auch einen wunderschönen Bruchstrich, doch handelt es sich bei dieser Funktion sicher nicht um eine gebrochenrationale Funktion, da der Zähler auf Grund der Wurzel kein Polynom ist.
Hier könnte man sich entsprechend auch nicht mit dem Ausschließen der Nullstelle des Nenners begnügen, sondern hätte auch der Wurzel noch die ihr gebührende Aufmerksamkeit zu schenken.

18.08.2004, 15:05

karl_k0ch

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@Latex-Darstellung.
Ich such grad nach dem \...
...gefunden:

So einfach wie simpel:
$\begin{eqnarray*} \backslash \end{eqnarray*}$

\backslash =\
und:
\{ = {
\} = }

18.08.2004, 15:16

eldios

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wie berechnet man denn dann den db, wenn es keine grbochen ratinonale funktion ist?

18.08.2004, 15:19

Philipp-ER

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$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\backslash\{-2\} \end{eqnarray*}$
Voilà, einfach \backslash.
Allerdings ein bisschen hässlich, vielleicht gibt es noch einen besseren Befehl.

18.08.2004, 15:28

Philipp-ER

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Zitat:

Original von eldios
wie berechnet man denn dann den db, wenn es keine grbochen ratinonale funktion ist?

Ich denke, das kann man so allgemein nicht sagen.
Ein paar Grundregeln wurden ja oben schon genannt:
Wenn Wurzeln auftreten (bzw nicht-ganzzahlige Exponenten) muss der Radikand (bzw die Basis) positiv (bei positiven Exponenten ist die 0 noch zusätzlich erlaubt) sein.
Bei Logarithmen muss das Argument positiv sein.
Beispiel:
$\begin{eqnarray*} x\mapsto \frac{\ln(1-x^2)+\sqrt{1/x}}{x-1/2} \end{eqnarray*}$
Da muss man jetzt nacheinander alle Problemfälle durchgehen:
Eine Nullstelle des Nenners ist 1/2, das muss schonmal ausgeschlossen werden.
Unter der Wurzel steht x im Nenner, also darf x nicht 0 sein. Außerdem muss das, was unter der Wurzel steht, positiv sein, damit muss auch x positiv sein.
Zusätzlich muss gelten:
$\begin{eqnarray*} 1-x^2>0 \end{eqnarray*}$ , da sonst der Logarithmus nicht definiert ist. Das führt auf $\begin{eqnarray*} -1<x<1 \end{eqnarray*}$
Wenn man alles zusammen nimmt, kommt man auf $\begin{eqnarray*} x\in (0,1)\backslash\{1/2\} \end{eqnarray*}$ , wenn ich mich nicht vertan habe, da ja alle Bedingungen erfüllt sein müssen.

Entsprechend musst du die Argumente untersuchen, wenn andere Funktionen mit beschränktem Definitionsbereich auftreten, wie zum Beispiel die Arkusfunktionen, aber allgemein kann man da nichts sagen, das dir helfen würde, denke ich.

18.08.2004, 15:31

eldios

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hmm ich dachte jetzt hätte ich das verstanden und wollte eine übungsaufgabe rechnen.

Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+1)^4}{(x^2-1)^2} \end{eqnarray*}$

als ergebnis habe ich 0,5 raus aber es soll d=R\{+1, -1}

rauskommen wieso das denn jetzt schon wieder??? verwirrt

verwirrt

EDIT: Latex verbessert (therisen)

18.08.2004, 15:38

Philipp-ER

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Du hast eine gebrochenrationale Funktion, der Nenner lautet
$\begin{eqnarray*} (x^2-1)^2 \end{eqnarray*}$ (benutze beim Formeleditor nicht ² sondern ^2, ersteres funktioniert nicht), also hast du die Gleichung
$\begin{eqnarray*} (x^2-1)^2=0 \end{eqnarray*}$ zu lösen, um herauszufinden, welche x du ausschließen musst. Wie kommst du da auf 0.5?

18.08.2004, 15:39

grybl

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Im Nenner hast du $\begin{eqnarray*} (x^2-1)^2 \end{eqnarray*}$

Wann ist $\begin{eqnarray*} (x^2-1)^2=0 \end{eqnarray*}$ ?

Wenn $\begin{eqnarray*} x=\pm 1 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} D=R\backslash \{-1;1\} \end{eqnarray*}$

Danke karl_k0ch & Philpp-ER für den backslash! Gott

Gott

18.08.2004, 15:39

PSM

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Schau' dir nur den Nenner an, denn nur der spielt bei der Definitionsmengenbestimmung eine Rolle.
(x²-1)²= (x²-1)(x²-1)
Nun musst du lineare Faktoren daraus machen.
Stichwort: Binomische Formel; welche das ist, musst du selbst herausfinden.

MfG
Patrick

18.08.2004, 15:43

eldios

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arg ne ich hab verplant gerechnet ich hatte die klammer auseinanderegezogen anstatt ne wurzel zu ziehen 8(

Aber danke an euch alle habs jetzt hinbekommen und ich denke auch soweit verstanden ^^

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