Erzeugendensystem eine surjek. Gruppenhomomorphismus

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Dukkha Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem eine surjek. Gruppenhomomorphismus
Hallo zusammen,

Ich stehe vor folgender Aufgabe:
1.) Sei und zwei Gruppen und ein Gruppenhomomorphismus und eine indexierte Sammlung von Elementen in . Zeigen sie, dass falls surjektiv ist und ein Erzeugendensystem von G, dass ein Erzeugendensystem von G' ist.

2.) Sei . Nützen sie Aufgabe 1 für eine passende Gruppe um zu zeigen dass nicht von weniger als Elementen erzeugt werden kann.

Nun ich weiss, dass ich mit Hilfe von die Freie Gruppe erzeugen kann die isomorph zu sein sollte. Nun da es ja ein Epimorphismus ist, weiss ich, dass mein Homomorphismus jedes Element in trifft. Sprich auch die Erzeuger von . Leider weiss ich aber nicht, wie ich nun das Erzeugendensystem zeige bzw. ob das so schon langt oder überhaupt richtig ist. Vielen Dank für die Hilfe.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Über ist nichts weiter vorausgesetzt, muss also insbesondere nicht zu isomorph sein.
Die Aufgabe 1 ist elementar (um nicht zu sagen trivial): Nimm ein , dann ist für . Voraussetzungen: surjektiv, homomorph,
Dukkha Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Über ist nichts weiter vorausgesetzt, muss also insbesondere nicht zu isomorph sein.
Die Aufgabe 1 ist elementar (um nicht zu sagen trivial): Nimm ein , dann ist für . Voraussetzungen: surjektiv, homomorph,


Hallo,

Vielen Danke. Kann ich nun bei Aufgabe 2 so argumentieren:
Wegen für und der universellen Eigenschaft der Freien Gruppe gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus der forsetzt: deshalb muss es mindestens n Element in geben.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das sehe ich nicht so. In Aufgabe 1 ist nichts über G und G' gesagt, diese können beide 1 sein. 1 ist das Erzeugendensystem, die Identität.
In Aufgabe 2 musst Du sehr viel konkreter werden ... frage mich bitte nicht, wie ... auf jeden Fall muss G' groß genug sein.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem eine surjek. Gruppenhomomorphismus
Wenn ein Erzeugendensystem von ist, dann ist jedes Element darstellbar als . bildet ab durch . Es gilt . Da der Gruppenhomomorphismus ein Epimorphismus ist, wird also jedes Element von durch erzeugt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die multiplikative Schreibweise anstelle der additiven Schreibweise, die ich in meinem Beweis benutzt habe. Übrigens sind .

Die Aufgabe 2 ist noch nicht bearbeitet. verwirrt
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Das ist die multiplikative Schreibweise anstelle der additiven Schreibweise, die ich in meinem Beweis benutzt habe. Übrigens sind .


Die Addition wird jedoch typischerweise als kommutativ angenommen, was bei einer Erzeugendenmenge von Gruppen idR nicht der Fall ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Ich ersetze gedanklich die Addition durch die Multiplikation.
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