Zeige, dass G eine Gruppe ist

23.11.2014, 14:32	Ringo	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige, dass G eine Gruppe ist Meine Frage: Hallo, also G ist eine nichtleere Menge mit einer Verknüpfung auf G, sodass (G,) 1) assoziativ ist 2) Es existiert ein Element e aus G mit eg=g 3) Zu jedem Element g aus G gibt e ein Element h aus g mit hg=e Jetzt soll ich erstmal zeigen, dass hg=e => gh=e. Meine Ideen:* Irgendwie hänge ich hier. Ich hab es erstmal mit Umformen uns so weiter probiert, aber da drehe mich nur im Kreis. Dann hatte ich mir überlegt vielleicht die Kommutativität der Gruppe zu beweisen, aber eigentlich will ich ja nur diesen Spezialfall zeigen, dass müsste doch dann eigentlich auch anders gehen, oder? Danke schon mal.
23.11.2014, 17:04	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gruppe ist auch nicht notwendigerweise abelsch. Setze etwa mit $\begin{eqnarray} g\circ h = e\circ (g\circ h) \end{eqnarray}$ an.
23.11.2014, 18:26	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Kommutativität musst du nur zeigen, wenn die Aufgabe (Behauptung) eben auch dieses fordert. Dazu musst du Unterscheiden: *(G,) ist eine Gruppe** * ist Abgeschlossen, d.h. $\begin{eqnarray} \forall\ x,y\in G \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} xy\in G \end{eqnarray}$ Assoziativität, d.h. $\begin{eqnarray} \forall\ x,y,z\in G \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (xy)z = x(yz) \end{eqnarray}$ Existenz des neutralen Elementes, d.h $\begin{eqnarray} \exists\ e\in G \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} \forall x\in G \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} ex=x=xe \end{eqnarray}$ Existenz des inversen Elementes, d.h. $\begin{eqnarray} \forall x\in G\exists g\in G \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} xg=e=gx \end{eqnarray}$ erfüllt ist. Das Element $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ heißt dann inverses Element* von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und wird (häufig) geschrieben als $\begin{eqnarray} x^{-1} \end{eqnarray}$ (häufig siehst Du auch schwächere Forderungen, denn Deine aktuelle Aufgabe ist quasi eine "Vereinfachung" der Gruppenaxiome) *(G,) ist eine abelsche Gruppe** (G,) ist eine Gruppe Zusätzlich gilt die Kommutativität, d.h. $\begin{eqnarray} \forall x,y\in G \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} xy=yx \end{eqnarray}$ Hier solltest du nochmal festhalten: Es gibt ein einziges neutrales Element für alle, und es gibt für jedes Element ein Inverses, also viele verschiedene. (Denke an die rationalen Zahlen und überlege dir, welche Elemente invers bzgl. der Multiplikation zu einander sind) Hier sollst du zeigen, dass es eine Gruppe ist. Nach deinen Voraussetzungen müssen noch zwei kleine Teile gezeigt werden. Zunächst, dass ein linksinverses Element* auch rechtsinvers ist. Dann, dass das linksneutrale Element auch rechtsneutral ist. Du hast begonnen zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} gh = hg \end{eqnarray}$ Du weißt, dass hg=e ist. Also ist h das Linksinverse zu g. Nun betrachte im folgenden gh, dann ergibt sich: $\begin{eqnarray} gh = e(gh) \end{eqnarray}$ Du weißt, dass für jedes Element ein Linksinverses existiert (nach der Voraussetzung), also betrachte das Linksinverse zu h, das liefert dir dann: $\begin{eqnarray} = (h^{-1}h)(gh) \end{eqnarray}$ Mittels der Assoziativität aus der Voraussetzung kommst du dann ziemlich zügig zum Ziel $\begin{eqnarray} = ... = h^{-1}h=e \end{eqnarray*}$ Viel Erfolg weiterhin!
23.11.2014, 19:18	Ringo	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal vielen Dank für deine ausführliche Antwort, das hat vieles nochmal klarer gemacht! Ich hatte die ganze Zeit versucht, direkt hg nach gh umzuformen, wobei das doch theoretisch auch gehen müsste. Auf jeden Fall hat es jetzt dank deiner Hilfe gut geklappt!

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