Minimalpolynom und Resultante

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Shalec Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom und Resultante
Hallo allerseits,

vorweg: Meine Algebrakenntnisse beschränken sich auf die lineare Algebra inklusive ausführlicher Betrachtungen der Gruppentheorie. Körper, Körpererweiterungen und Co. sind für mich absolutes Neuland (Körpertheorie abgesehen von der Analysis..)

Nun zur Aufgabe:
Die Voraussetzungen
  • Zahlkörper vom Grad n
  • Minimalpolynom von

  • Für ist


Behauptung:
Für das Charakteristische Polynom von über gilt:

Wobei die Resultante bezüglich ist.

Frage(n)
  • Ist das Minimalpolynom hier ? Oder ist die genaue Darstellung des Minimalpolynoms egal?
  • Hat für mich jemand hilfreiche Tipps, wie ich hier vorgehen kann? Oder wo ich das nötige für diesen Beweis nachlesen kann? Ich habe keine wirklichen Ansätze.


Viele Grüße und vielen Dank,
Shalec
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt eine Formel für die Resultante in Abhängigkeit der Nullstellen der beiden Polynome. Diese solltest du nutzen.

Was das char. Polynom angeht: Wie habt ihr es eingeführt? Kennst du ?

Die genaue Gestalt des Minimalpolynoms von Alpha kennen wir nicht, müssen wir aber nicht kennen Augenzwinkern
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Es gibt eine Formel für die Resultante in Abhängigkeit der Nullstellen der beiden Polynome. Diese solltest du nutzen.


Von Wikipedia habe ich diese Formel:


Dabei sind die und gemeinsame Teiler der Koeffizienten des jeweiligen Polynoms und die bzw. Nullstellen von f bzw. g. m und n beschreiben den jeweiligen Grad des Polynoms.
Meinst Du diese Formel? Gibt es dazu irgendwo einen Beweis? (Gewiss..rhetorische Frage..vielmehr sollte sie lauten: Wo kann ich dazu einen Beweis finden, außer bei Suchmaschinen?)
Das charakteristische Polynom ist doch definiert, als oder ist diese hier auch anders definiert? (M ist Darstellungsmatrix der jeweiligen Abbildung im Index)

Edit://
Ich habe eben eine Formel in der Vorlesung zum Char.Poly gefunden:
, wobei die wahrscheinlich Eigenwerte sind. Sonst könnte ich mir diese Darstellung nicht erklären. Liege ich hiermit richtig, denke ich, dass das Char.Poly. wie oben definiert wird. Nach ein wenig Google-Arbeit hat sich dies nun auch bestätigt.
//End-Edit

Zitat:
Original von tmo
Was das char. Polynom angeht: Wie habt ihr es eingeführt? Kennst du ?

Die genaue Gestalt des Minimalpolynoms von Alpha kennen wir nicht, müssen wir aber nicht kennen Augenzwinkern

Das hatte ich in einem Thread hier (hoffe ich, dass es hier war..) schon mal gelesen, da ging es darum die Norm von sqrt(3) in Q(3^(1/4)) zu berechnen. Leider wurde dies abgebrochen, da keiner auf das richtige (?) Ergebnis 36 kam.
Eingeführt haben wir es gar nicht, es wird als bekannt vorausgesetzt.


Viele Grüße und vielen Dank schonmal
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Einen Beweis der Resultantenformel findest du z.B. im Bosch.


Natürlich sind die dann per Definition Eigenwerte. Wichtiger ist jedoch, dass dies genau die Konjugierten von sind (aber sie können mehrfach auftauchen).
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Einen Beweis der Resultantenformel findest du z.B. im Bosch.

Gleich gefunden: 7. Auflage, Seite 177, Korollar 9, Abschnitt 4.4


Zitat:
Original von tmo
[...] dass dies genau die Konjugierten von sind [...].


Was bedeutet das genau?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Dies sind die anderen Nullstellen des Minimalpolynoms von .

Man überlegt sich leicht:

Ist die Menge der Homomorphismen, die die auf ihre Konjugierten schickt, und gilt so besteht die Aufzählung



...


genau aus den Konjugierten von und die kommen alle mal vor.
 
 
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Trotz allem sehe ich noch keinen Zusammenhang.

Hast du noch ein paar mehr Tipps für mich? Versuch das Thema am besten für jemanden verständlich zu machen, der nur die Lineare Algebra gehört hat.
Durch Wikipedia weiß ich nun auch was allgemeine Konjugierte sind. Mit Deinen Ausführungen konnte ich das ergänzen und umgekehrt verstehen.

Ich habe schon direkt bei Beginn des Kurses gemerkt, dass er zu viel Vorwissen abverlangt, dass mir meine Uni nicht bieten konnte. Nun bin ich aber zu tief drin, um noch aussteigen zu können Augenzwinkern
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