Kronecker-Delta und Levi-Civita-Tensor

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Rubi Auf diesen Beitrag antworten »
Kronecker-Delta und Levi-Civita-Tensor
Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Aufgabe bei der ich nicht weiter komme..
man muss das Kroneker Delta und den Levi Civita Tensor verwenden, um folgende Relationen zu zeigen für beliebige dreidimensionale Vektoren a,b und c:
a) |a X b|^2=|a|^2*|b|^2-(a*b)^2
b) (a-b)*[(a+b) X c]=2a*(b X c)
c) a X (b X c)+b X (c X a)+c X (a X b)=0

Meine Ideen:
..
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich rechne die Aufgabe a) vor. Die Aufgaben b) und c) sind ähnlich.
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Benutze die Tatsache, dass man den Levi-Civita-Tensor als Determinante einer Matrix ausdrücken kann, deren Elemente Kronekersymbole sind, also



Weiterhin benutzt man die Tatsache, dass man das Vektorprodukt wie folgt mit dem Levi-Civita-Tensor ausdrücken kann



Damit gilt



Im letzten Schritt haben wir die Regel |A|*|B|=|AB| verwendet, welche für zwei beliebige Matrizen A, B gilt. Im vorletzten Schritt haben wir die Faktoren, welche hinter den Determinanten stehen, in die Determinante hineingeholt (Siehe Rechenregel für Determinanten). Abschließend entwickelt man die so erhaltene Determinante nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz (nach der letzten Spalte)



In den ersten beiden Summanden holen wir die Faktoren, welche vor den beiden Determinanten stehen, wieder in die Determinante heinein (Rechenregel für Determinanten)



Im ersten Summanden vertauschen wir die beiden Zeilen, so dass sich das Vorzeichen der Determinante umkehrt. Im letzten Summanden ist . Somit erhält man das Gewünschte

 
 
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