Billardtisch

24.11.2014, 19:10

Pumuckl122

Billardtisch

Hallo Freunde,

Folgende Problemstellung: Es geht um eine einzige, punktförmige Billardkugel. Der Billardtisch habe vier Ecktaschen, aber keine Mitteltaschen. Der Tisch ist rechteckig, Länge und Breite sind jeweils natürliche Zahlen. Der Billardstoß beginnt links unten im Winkel von 45°. Das Reflexionsgesetz gilt: Einfallswinkel = Ausfallswinkel. Die Kugel rollt mit gleichmäßiger Geschwindigkeit. Frage: "In welche der
Ecktaschen fällt die Billardkugel bei einem Tisch der Länge l und der Breite b?

Ich bin schon drauf gekommen, dass es etwas mit der Parität zu tun hat und dass ich Unterscheidungen machen muss für l, b gerade und ungerade (vier Fälle). Es gibt da aber noch drei wesentliche Aspekte, bei denen ich mir beim exakten Begründen schwer tue:

1) Die Kugel fällt immer in eine der Taschen. (Wie kann man hier argumentieren?

2) Es gibt keinen Tisch, bei dem die Kugel in die linke untere Tasche
fällt. (Damit das passiert, müsse die Kugel irgendwann abrupt die Richtung ändern und umkehren, aber das verletzt das Reflexionsgesetz. So in Ordnung?)

3) „Ähnliche“ Tische (also solche mit gleichem Seitenverhältnis l:b) zeigen auch „ähnliche“ Kugelverläufe. (Wenn ich l und b mit demselben Faktor kürze, dann entspricht das einer Streckung. Die Strecken der Billardkugel werden um denselben Faktor verkürzt. Aber der Verlauf bleibt unberührt. Ist das so in Ordnung?

Danke!

24.11.2014, 21:33

HAL 9000

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Man kann das Problem folgendermaßen transformieren:

Wir legen zunächst mal den Billardtisch in den ersten Quadranten eines x-y-Koordinatensystem mit links unten im Ursprung.

Nun spiegelt man den Billardtisch an allen vier Kanten, die Spiegelbilder wieder an deren Kanten usw. bis ins Unendliche, so dass die gesamte x-y-Ebene in lauter $\begin{align*} l\times b \end{align*}$ -Rechtecke zerlegt wird. Die vier Ecktaschen werden dann repräsentiert durch die Gitterpunkte $\begin{align*} (ml,nb) \end{align*}$ mit

a) $\begin{align*} m \end{align*}$ gerade, $\begin{align*} n \end{align*}$ gerade - links unten
b) $\begin{align*} m \end{align*}$ ungerade, $\begin{align*} n \end{align*}$ gerade - rechts unten
c) $\begin{align*} m \end{align*}$ gerade, $\begin{align*} n \end{align*}$ ungerade - links oben
d) $\begin{align*} m \end{align*}$ ungerade, $\begin{align*} n \end{align*}$ ungerade - rechts oben

Warum das ganze eben beschriebene "Reflexionszeug"? Damit der Billardstoß mit Anfangswinkel 45° schlicht als Gerade $\begin{align*} y=x \end{align*}$ betrachtet werden kann! Sobald diese Gerade auf einen der Gitterpunkte aus a) bis d) trifft, ist der Stoß beendet.

Das geschieht zum ersten Mal für $\begin{align*} x=y=\operatorname{kgV}(l,b) \end{align*}$ - und daraus lassen sich die zugehörigen $\begin{align*} m,n \end{align*}$ berechnen und der jeweilige Fall a) bis d). Aber wenn ich noch mehr erzähle, bleibt gar nichts mehr übrig. Augenzwinkern

25.11.2014, 22:40

Pumuckl122

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Geniale Idee! Kann dir folgen, aber wie kann ich aus kgV-Eigenschaft auf die Fälle schließen? Kannst du vielleicht einen der vier Fälle explizit zeigen?

Wenn beide gerade sind, dann fällt die Kugel doch in die Tasche links oben (und nicht links unten), oder?

Danke!

25.11.2014, 22:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pumuckl122
Wenn beide gerade sind, dann fällt die Kugel doch in die Tasche links oben (und nicht links unten), oder?

Für $\begin{align*} l=2,b=2 \end{align*}$ nicht, da ist es rechts oben - für $\begin{align*} l=12,b=20 \end{align*}$ auch... Augenzwinkern

Es ist eher so, dass man erstmal den größten gemeinsamen Teiler $\begin{align*} g:=\operatorname{ggT}(l,b) \end{align*}$ abtrennt, d.h. man betrachtet $\begin{align*} l=gl' \end{align*}$ und $\begin{align*} b=gb' \end{align*}$ mit dann teilerfremden $\begin{align*} l',b' \end{align*}$ - von denen dann übrigens mindestens eine ungerade sein muss. Die Parität von $\begin{align*} l',b' \end{align*}$ entscheidet dann letztendlich, in welcher Tasche die Billardkugel landet. Augenzwinkern

P.S.: Außerdem ist dann ja $\begin{align*} \operatorname{kgV}(l,b) = gl'b' \end{align*}$ .

26.11.2014, 19:29

Pumuckl122

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Hm. Vorher verwendest du m und n jetzt l' und b'. Ganz durchsichtig ist das für mich noch nicht. Ist es nicht einfacher den ursprünglichen Tisch herzunehmen und dann weiß man, dass die Kugel nur solche ganzzahligen Punkte des Koordinatensystems durchläuft, deren Koordinaten dieselbe Parität aufweisen. In jedem Schritt ändert sich die horizontale und die vertikale Position der Kugel jeweils um 1. Nachdem die Kugel in (0|0) startet, müssen alle durchlaufenen Punkte Koordinaten mit derselben Parität haben.

Wenn l ungerade und b ungerade, dann hat nur die rechte obere Tasche gleiche Parität (links unten scheidet immer aus).

Wenn l gerade und b ungerade, dann hat nur rechts unten die gleiche Parität.

Wenn l ungerade und b gerade, dann hat nur links oben die gleiche Parität.

Wenn l gerade und b gerade, dann haben alle vier Taschen gleiche Parität. Man kann sich hier helfen, wenn man einen "ähnlichen" Tisch zu Rate zieht, also in dem man alle Seiten (und damit den Weg der Kugel) um einen Faktor kürzt, sodass der neue Tisch mit l' und b' nun wieder einem Tisch der vorigen drei Fälle entspricht.

26.11.2014, 19:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pumuckl122
Hm. Vorher verwendest du m und n jetzt l' und b'.

Tja, ich bin launisch - aber du hast Recht, das ist (richtig zugeordnet) dasselbe.

26.11.2014, 20:16

Pumuckl122

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Prinzipiell ist die Spiegelmethode super, aber ich finde es schwieriger, dass man da auf ein konkretes Ergebnis kommen möchte für konkrete l und b. Oder ist mit deinem Weg das Ziel eh schon praktisch vor Augen und ich sehe es einfach nicht?

26.11.2014, 20:20

HAL 9000

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Letzteres. Eigentlich steht alles schon da.

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