Summenformel Umkehr

25.11.2014, 00:02	Goetterspeise	Auf diesen Beitrag antworten »
Summenformel Umkehr Meine Frage: Folgendes ist gegeben: $\begin{eqnarray} L = \frac{l}{2} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ Ich habe hierfür ein n und ein l und komme damit auf L Problematik: Ich habe nun l und L gegeben und soll auf n kommen. Meine Ideen: Mein Ansatz ist dieser: $\begin{eqnarray} m = \frac{2L}{l} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ Nun habe ich m, aber immer noch keine Idee, wie ich n finde...
25.11.2014, 09:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Schrittweise $\begin{align} \frac{1}{k} \end{align}$ aufsummieren, bis $\begin{align} m \end{align}$ erreicht ist. Für große $\begin{align} n \end{align}$ gilt für $\begin{align} H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{align}$ die Näherungsformel $\begin{align} H_n \approx \ln(n)+\gamma \end{align}$ mit der Euler-Mascheroni-Konstante $\begin{align} \gamma\approx 0.577 \end{align}$ . Damit kannst du für gegebenes $\begin{align} m \end{align}$ durch Umstellung $\begin{align} n\approx e^{m-\gamma} \end{align}$ zumindest die ungefähre Größenordnung von $\begin{align} n \end{align}$ herauskriegen. EDIT: Hmm, es dürfte sogar $\begin{align} n= \left\lfloor e^{m-\gamma} \right\rfloor \end{align}$ exakt stimmen.

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