Verkettung von Funktionen - surjektiv, injektiv

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Tautologie94 Auf diesen Beitrag antworten »
Verkettung von Funktionen - surjektiv, injektiv
Meine Frage:
Es seien f:M --> N, g: N --> M und h: N --> M Funktionen. Zeigen Sie:

a) Ist f surjektiv und gilt g o f = h o f, so folgt g=h

b) Ist f injektiv und gilt f o g = f o h, so folgt g=h

Meine Ideen:
g o f: M --> M

h o f: M --> M

Mein Ansatz bei Beispiel a war, dass g(f(x)) = h(f(x)) ist. Wie schließ ich nun aber formal darauf, dass g = h ist und wie kann ich die Definition der Surjektivität darin einbauen?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verkettung von Funktionen - surjektiv, injektiv
Was bedeutet es denn, wenn f surjektiv ist? Und wann sind zwei Funktionen gleich? Diese beiden Kernfragen führen direkt zur Lösung smile

Lg
kgV
Wink
Tautologie94 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verkettung von Funktionen - surjektiv, injektiv
Wenn f surjektiv ist, werden ja alle Elemente von N "getroffen". Verstehe aber leider nicht, wie sich diese Eigenschaft auf g o f bzw. h o f auswirkt, da diese Funktionen von M --> M gehen.

Wegen g o f = h o f müsste gelten, dass auch die beiden Relationen gleich sind.
Also g:= (M,M,R1) und h:=(M,M,R2). Somit R1=R2.

lg
kgV Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verkettung von Funktionen - surjektiv, injektiv
Ich meine das ein bisschen bildlicher: g=h gilt genau dann, wenn für alle x im Definitionsbereich auch das Bild gleich ist, also wenn gilt.
Du hast ja selbst den Ansatz g(f(x)) = h(f(x)) gebracht. Der ist perfekt smile denn: wo liegen denn alle f(x)? Und warum bekommst du alle? (hier kommt jetzt die Surjektivität ins Spiel)
Tautologie94 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verkettung von Funktionen - surjektiv, injektiv
Ok, dann müsste das ganze so aussehen: (y sind jetzt die Elemente in N und x in M)

zu zeigen: y N: g(y)=h(y)

da f (M --> N) surjektiv ist gilt: y N: x M: f(x)=y

da g (N --> M) eine Funktion ist: y N: ! x M: g(f(x))=x

da h (N --> M) eine Funktion ist: y N: ! x M: h(f(x))=x

y N: ! x M: g(f(x))= x h(f(x))=x

y N: g(y) = h(y)
kgV Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verkettung von Funktionen - surjektiv, injektiv
Sieht schon sehr gut aus Freude Ein paar Sachen habe ich aber noch auszusetzen:

Zitat:
Ok, dann müsste das ganze so aussehen: (y sind jetzt die Elemente in N und x in M)

zu zeigen: y N: g(y)=h(y)

da g (N --> M) eine Funktion ist: y N: ! x M: g(f(x))=x

da h (N --> M) eine Funktion ist: y N: ! x M: h(f(x))=x

Da sollte y stehen, die Beziehung y=f(z) für ein z in M solltest du danach einbringen (hab ich grad mal hier verändert)

y N: ! x M: g(f(x))= x h(f(x))=x

Das kann man so nicht folgern. Besser: für alle . Dann kommt die Surjektivität:

da f (M --> N) surjektiv ist gilt: y N: x M: f(x)=y

y N: g(y) = h(y)

Das kommt dann etwas plötzlich Augenzwinkern Besser: Also gilt: und . Damit haben wir dann: y N: g(y) = h(y), was zu beweisen war


Wenn du das nochmal sauber hinschreiben willst, würde ich den ersten Teil als abgehakt betrachten smile

Im zweiten Teil ist jetzt f injektiv und es gilt f o g = f o h. Hier kannst du denselben Ansatz mit f(g(x))=f(h(x)) missbrauchen. Was heißt es denn, dass f injektiv ist?
 
 
Tautologie94 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verkettung von Funktionen - surjektiv, injektiv
zu zeigen:

da g (N --> M) eine Funktion ist:

da h (N --> M) eine Funktion ist:



da f (M --> N) surjektiv ist gilt:






Jetzt zu Beispiel b:

zu zeigen:

da g (N --> M) eine Funktion ist:

da h (N --> M) eine Funktion ist:



da f (M --> N) injektiv ist:



wegen der Injektivität:
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Die vorletzte Zeile kannst du streichen, die brauchst du nicht (außerdem ist sie nicht ganz richtig Augenzwinkern )

Zur b)
in Zeile fünf muss stehen, und nicht .
Ansonsten passt das aber smile
Tautologie94 Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen Dank smile
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

gern geschehen smile
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