Prüfen, ob Vektoren ein Erzeugendensystem eines gegebenen Vektorraums sind?

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neuerNutzer Auf diesen Beitrag antworten »
Prüfen, ob Vektoren ein Erzeugendensystem eines gegebenen Vektorraums sind?
Meine Frage:
Guten Abend,

ich habe hier ein kleines Proble, vielleicht kann mir da ja jemand von euch helfen smile

Es geht um die Basis eines Vektorraums.
Diese habe ich denke ich auch sehr gut verstanden und kann mir etwas darunter vorstellen.

Womit ich jedoch Probleme habe, ist zu prüfen, ob bestimmte linear unabhängige Vektoren - also Kandidaten für eine Basis - auch wirklich den entsprechenden Vektorraum erzeugen, sprich z.B. bei einem konkreten Beispiel .

Meine Ideen:
Nunja, wenn ich mir eine Linearkombination aus den Vektoren bastle:
erhalte ich ja letztendlich einen Ausdruck wie z.B. hier .

Aber was nun?
Ist das Augenzwinkern ?

Wenn ich ein LGS baue bei dem jede der Zeilen gleich 0 gesetzt wird und da über die Koeffizientenmatrix rangehe, kommt für beide Variablen 0 und eine Nullzeile raus....

Viele Grüße
Philipp
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der wird von 3 linear unabhängigen Vektoren aufgespannt, solche 3 Vektoren nennt man eine Basis und 3 ist die Dimension des , weil jede Basis genau 3 Vektoren hat. 2 Vektoren sind weniger als 3.
neuernutzer Auf diesen Beitrag antworten »

faszinierend, in der richtung hatte ich doch auch noch irgendwas im kopf.

also egal welche linear unabhängigen vektoren man nimmt, solange deren zahl mit der nötigen basis-dimension des vektorraums übereinstimmt, bilden diese 3 ein ereugendensystem des vektorraums (und da sie linear unabhängig sind auch eine basis) ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. smile
neuerNutzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dankeschön smile
neuerNutzer Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ich habe nun noch eine andere Frage zum Thema Basis.

Wenn man zwei Unterräume addiert, erhält man dann die Basis des entstehenden Unterraums dadurch, dass man jeden Basisvektor des einen Unterraums mit jedem Basisvektor des anderen Unterraums addiert und die entstehenden Vektoren um linear abhängige bereinigt?
 
 
neuerNutzer Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, oder eher die Vereinigung beider Basen?












Wobei die neue Basis dann natürlich linear unabhängig sein muss... Aber kann sie überhaupt linear abhängig sein, wenn man von vollständig "gekürzten" Vektoren in den beiden Basen ausgeht?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Wie Du's ja schon da stehen hast, ist die Summe zweier Untervektorräume die lineare Hülle der Basisvektoren dieser beiden UVR. Welche bzw. wieviele davon eine Basis des Summen-UVR darstellen, hängt aber von der Dimension des Summen-UVR ab. Die kannst Du z. B. durch die Dimensionsformel bestimmen oder mit Gauß.
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