Lineare Unabhängigkeit

28.11.2014, 22:47	cScience94	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit Meine Frage: Die Aufgabe lautet wie folgt: Für jedes $\begin{eqnarray} a\in \mathbb R \end{eqnarray}$ sei eine Funktion $\begin{eqnarray} f_{a} : \mathbb R\to \mathbb R \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} f_{a}(x)= \begin{cases} (a-x)^3, & \text{falls } x \leq a \\ 0 & \text{sonst. } \end{cases} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass die Menge $\begin{eqnarray} \left\{ f_{a}\|a\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray}$ im reellen Vektorraum $\begin{eqnarray} Abb(\mathbb R,\mathbb R ) \end{eqnarray}$ linear unabhängig ist. Meine Ideen: Ich hab mir es so überlegt, die Aufgabe in 3 Fälle aufzuteilen : x $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ a , x=a und x>a. Im fall x=a und x>a wäre es ja die Nullabbildung. Mich verwirrt es nur extrem dass a element der Reellen Zahlen ist. Normalerweise würde ich ja zuerst schauen ob es eine Lineare Kombination der Menge gibt für lambda ungleich 0. Dann wäre sie linear abhängig sonst halt unabhängig. Aber ich weiß nicht ob ich dann das lambda nur vor a oder nur vor x oder ganz vor der Klammer von $\begin{eqnarray} (a-x)^3 \end{eqnarray}$ schreiben muss. Ich hoffe hier kann mir jemand helfen.
29.11.2014, 10:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine erste Idee ist nicht gut. Die Nullabbildung kann unter diesen Abbildungen nicht vorkommen, sonst wäre die Menge linear abhängig. Du musst zeigen, dass jede Linearkombination der Nullabbildung trivial ist. Also zu zeigen $\begin{eqnarray} \forall x\in \mathbb R: \sum_{i=1}^n \lambda_i f_{a_i}(x)=0 \Rightarrow \forall i\in \{1,...,n\}:\lambda_i=0 \end{eqnarray}$
29.11.2014, 12:47	cScience94	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie gehe ich da vor ? Mich verwirrt es , dass es hier 2 Variablen gibt und ich weiß nicht wie ich eine skalare Multiplikation auf diese funktionen der Menge verwenden soll. Kannst du mir bitte ein paar Tipps geben ?
29.11.2014, 13:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest die Funktionen der Größe der $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ nach sortieren für alle $\begin{eqnarray} \lambda_i\ne 0 \end{eqnarray}$ (angenommen es gibt welche). Dann lässt sich die Funktion mit dem grössten a als Linearkombination der anderen Funktionen darstellen, was offensichtlich nicht geht.

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