Integralrechnung; Rotationskörper

30.11.2014, 15:00

max002

Auf diesen Beitrag antworten »

Integralrechnung; Rotationskörper

Hallo liebe Mathematiker..
Ich sitz grad an einem Beispiel und komm irgendwie nicht zur richtigen Lösung.. könnte mir da jemand weiterhelfen?

Aufgabe: Das Flächenstück, das vom Graphen der Funktion f: y=lnx, der x-Achse und den Ordinatenlinien in den Endpunkten des Intervalls [1;e] begrenzt wird, rotiert um die x-Achse. Der Rauminhalt des Drehkörpers ist zu berechnen.

Mein Weg:

Integral von 1 bis e (lnx)^2 (pi) dx= ...= 2(pi)e (lne-e) - 2(pi)(ln1-1)=..= 2(pi)e-2(pi)(e^2)+2(pi)

Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!

LG max

30.11.2014, 15:06

Sören Dören

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn das genaue Problem?

30.11.2014, 15:09

Hausmann

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integralrechnung; Rotationskörper

Zitat:

Original von max002
Der Rauminhalt des Drehkörpers ist zu berechnen.

30.11.2014, 15:11

max002

Auf diesen Beitrag antworten »

Dass ich nicht auf das richtige Ergebnis komme..

30.11.2014, 15:14

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist besser $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ vor das Integralzeichen zu setzen, damit du nicht die Übersicht verlierst.

$\begin{eqnarray*} \pi \cdot \int\limits_{1}^{e}\! \left(ln(x)\right)^{2} \,\,\, \dx \end{eqnarray*}$

Behauptest du, dass das Integral:

$\begin{eqnarray*} \int\! \left(ln(x)\right)^{2} \, \, \, \dx=x \cdot (ln(x)-x) \end{eqnarray*}$

ergibt ?

Edit1:

Bin weg. Wink

Wink

30.11.2014, 15:18

Sören Dören

Auf diesen Beitrag antworten »

Wiso ln^2 oben steht doch ln. Dies sollte zunächst geklärt werden...

Anzeige

30.11.2014, 15:26

Sören Dören

Auf diesen Beitrag antworten »

Was kommt den raus?

30.11.2014, 15:30

max002

Auf diesen Beitrag antworten »

Es kommt eigentlich pi*(e-2) heraus..

das hoch 2, weil es um die x-Achse rotiert..

30.11.2014, 15:51

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Auf dieses Ergebnis komme ich auch.
Was ist denn?

$\begin{eqnarray*} \int\! \left(ln(x)\right)^{2} \, \, \, \dx= \dots \end{eqnarray*}$

30.11.2014, 16:17

max002

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja das Integral von lnx ist gleich x*lnx-x
und von lnx^2 --> 2x*lnx-x ?

unglücklich

unglücklich

30.11.2014, 16:43

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.

smile

Ich bin bissel aus der Übung gekommen, weil ich das im zweitem Semester gemacht habe.

1. Möglichkeit:

Substituiere $\begin{align*} u=ln(x) \end{align*}$ !

$\begin{align*} \frac{du}{dx}=\frac{1}{x} \Longleftrightarrow dx=du \cdot x \end{align*}$

$\begin{align*} \int\! \left(ln(x)\right)^{2} \, \, \, dx=\int\! \left(u\right)^{2} \, \, \, dx = \int\! \left(u\right)^{2} \, \, \, du \cdot x \end{align*}$

Und jetzt noch das x mit dem entsprechenden Ausdruck ersetzen, dann integrieren und wieder Rücksubstituieren.

Oder du wendest direkt die partielle Integration an:

2.Möglichkeit:

$\begin{align*} \int\! \left(ln(x)\right)^{2} \, \, \, dx=\int\! \left(ln(x)\right) \cdot \left(ln(x)\right) \, \, \, dx \end{align*}$

30.11.2014, 17:01

max002

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schaffs einfach nicht.. ich hab beide Varianten ausprobiert da kommt mir nichts sinnvolles raus.. traurig

traurig

30.11.2014, 17:21

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Lass uns die zweite Möglichkeit machen, weil die nicht solange dauert.

Unsere Funktion, die wir integrieren möchten, lautet: $\begin{align*} f(x)=\left(ln(x)\right)^{2}=\underbrace{ln(x)}_{f'(x)} \cdot \underbrace{ln(x)}_{g(x)} \end{align*}$

Die Formel für die partielle Integration lautet:
$\begin{align*} <br /> \int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x = [f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b} - \int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x\\<br /> \end{align*}$

Es gilt: $\begin{align*} f'(x)=ln(x) \end{align*}$ Dann gilt: $\begin{align*} f(x)=x \cdot ln(x)-x \end{align*}$

$\begin{align*} g(x)=ln(x) \end{align*}$ Dann gilt: $\begin{align*} g'(x)=\frac{1}{x} \end{align*}$

$\begin{align*} <br /> \int\limits_{1}^{e} ln(x)\cdot ln(x)\,\mathrm{d}x = \Big[\left(x-ln(x)-x \right)\cdot ln(x)\Big]_{1}^{e} - \int\limits_{1}^{e}\! \left(x-ln(x)-x \right)\cdot \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x\\<br /> \end{align*}$

Jetzt den letzten Teil integrieren und alles zusammenfassen.

30.11.2014, 17:50

max002

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.. ich hab das jetzt versucht
vielen vielen Dank für die Mühe .. !!

30.11.2014, 17:51

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Und bist du auf das richtige Ergebnis gekommen smile

smile

?

06.12.2014, 20:45

max002

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja

smile

02.07.2015, 16:45

Gagsen09

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist/war das Ergebnis: $\begin{eqnarray*} \pi * [e*(ln(e))²-2*e*ln(e)+2*(e-1)] \end{eqnarray*}$ ???

03.07.2015, 00:23

opi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von max002
Es kommt eigentlich pi*(e-2) heraus..

Zitat:

Original von max002
Auf dieses Ergebnis komme ich auch.

Ich ebenfalls.
Wenn Du Dich an $\begin{eqnarray*} \ln(e)=1 \end{eqnarray*}$ erinnerst und Dein Ergebnis zusammenfasst, wirst Du Dich anschließen. smile

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »