Rekonstruktion Stauaufgabe

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Lunaa Auf diesen Beitrag antworten »
Rekonstruktion Stauaufgabe
Hallo ihr Lieben,

Wir haben in unserem Kurs nun mit dem Thema Integral angefangen aber noch keine Stammfunktion oder Ähnliches gehabt (habe mir das Thema bereits in den Unterlagen meiner Schwester angesehen, die letztes Jahr Abi gemacht hat).

Bei meiner Aufgabe geht es um Folgendes:

Es ist eine Stauaufgabe mit einem Graphen (keine Funktion angegeben).
Auf einer Autobahn wurde die Fahrbahn an einer Stelle von 3 auf 2 Spuren verengt. Hier können bis zu 30 Autos pro Minute passieren bevor es zu einem Stau kommen würde.

Die x-Achse der Grafik beginnt um 6 Uhr und der Stau beginnt ja, sobald die Anzahl von 30 Autos erreicht wurde. Dies wäre dann um 7 Uhr (war Aufgabenteil a). In b) war dann gefragt, zu welcher Uhrzeit der Stau am Längsten ist. Hierfür habe ich die Anfangszeit als Anfangspunkt genommen und eine Waagerechte gezogen. Der Schnittpunkt mit dem Graphen markiert dann die Uhrzeit der Längsten Staulänge (und teilt gleichzeitig den oberen Flächenbereich des Graphen ab). Die gesuchte Uhrzeit ist hier 8:40 Uhr.
Auch mussten wir angeben, wieviel Autos maximal im Stau stehen. Dafür habe ich die Teilflächen oberhalb der eingezeichneten Waagerechten und dem Graphen berechnet. Die Anzahl der max. Autos ist 700.

Nun liegt meine Problematik bei den 2 letzten Aufgabenteilen:

1. Wann löst sich er Stau auf?

2. Hätte sich der Stau bis 10 Uhr aufgelöst (Ende der x-Achseneinteilung), wenn lediglich 25 Autos die Stelle passiere können?


Meine Überlegung: Die 700 teile ich durch 30 (max. 30 Autos pro Minute). Dies ergibt ca. 23 Minuten. Dies addiere ich zu 8:40 Uhr. Damit würde sich der Stau um 9:03 Uhr auflösen. Ist das richtig so?

Zu 2.) Hier weiss ich nicht, ob ich erst einen neuen Anfangspunkt für den Stau angeben muss (da ja 25 Autos pro Minute), oder die 700 einfach durch 25 teilen kann (bezweifle ich).

Falls ich eine neuen Anfangspunkt brauche, so würde der Stau bereits um 6:50 Uhr beginnen.
Um 8:50 Uhr wäre dann der Stau am Längsten. Die maximale Anzahl an Fahrzeugen ist hier jedoch nicht genau zu berechnen, da die Teilflächen nicht genaue Längen haben (2 Trapeze und ein Rechteck).


Über Hilfestellungen würde ich mich freuen.

Vielen Dank schon einmal,
Luna smile
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du die komplette Aufgabe und den Graphen schicken ?
Lunaa Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe leider gerade keine Möglichkeit den Grapehn abzufotografieren.

Aufgabenstellungen habe ich oben schon genannt.

LG
Luna
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nun liegt meine Problematik bei den 2 letzten Aufgabenteilen:

1. Wann löst sich er Stau auf?

2. Hätte sich der Stau bis 10 Uhr aufgelöst (Ende der x-Achseneinteilung), wenn lediglich 25 Autos die Stelle passiere können?


Mache dir nochmal klar, dass der Bereich oberhalb deiner Parallelen zur x-Achse für eine Stauzunahme und der Bereich unterhalb für eine Stauabnahme steht.
Wann könnte man damit denn dann von Auflösung des Staus sprechen ?
Lunaa Auf diesen Beitrag antworten »

Nach 8:40 Uhr verläuft der Graph ja steil nach unten (bis 9:20).

Unser Lehrer meinte aber, dass wir nicht 8:40 Uhr (danach ist man ja unter der Parallelen zur x-Achse) als Zeitpunkt nehmen können, da es sich hier ja schon um den Zeitpunkt der längsten Staulänge handelt.

Ich kann aber auch nicht sagen das der Stau sich ab 8:41 Uhr auflöst.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Das meinte ich ja auch nicht.
Du solltest dir nur klar machen, dass der Stau sich genau auflöst, wenn das, was an Stau dazu gekommen ist, entsprechend auch wieder abgebaut wurde.
Mit anderen Worten stellt sich demnach also die Frage, wann der Bereich oberhalb (Zunahme) flächenmäßig genau so groß ist, wie der Bereich unterhalb der Parallelen (Abnahme).
Zu irgendeinem Zeitpunkt sind diese Teilflächen offenbar gleich groß.
 
 
Lunaa Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist mein Ansatz aus dem Eingangspost (die 700 durch 30 zu teilen und die Zeit dann zu 8:40 Uhr zu addieren) falsch?

Mir ist schon klar, dass der Stau sich dann auflöst, wenn wieder ein normaler "Fluss" besteht. Nur ist die Frage, wie ich dies rechnerisch darstellen kann (wir haben ja noch keine Formeln o.Ä. gehabt).

Es wäre auch lieb, wenn ein Kommentar zu dem Aufgabenteil mit den 25 Fahrzeugen pro Minute erfolgen könnte.

Danke,
Luna
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also ist mein Ansatz aus dem Eingangspost (die 700 durch 30 zu teilen und die Zeit dann zu 8:40 Uhr zu addieren) falsch?


Ja. Warum sonst schreibe ich dir wohl, wie man hier vorgehen muss ? Augenzwinkern

Zitat:
Nur ist die Frage, wie ich dies rechnerisch darstellen kann (wir haben ja noch keine Formeln o.Ä. gehabt).


Durch Abschätzen der entsprechenden Flächeninhalte, das hast du ja offenbar schonmal getan:

Zitat:
Dafür habe ich die Teilflächen oberhalb der eingezeichneten Waagerechten und dem Graphen berechnet. Die Anzahl der max. Autos ist 700.


Die Frage ist jetzt halt, wann diese "obere Teilflächen" dem Inhalt der unteren Teilflächen entsprechen.
Wie genau man jetzt am Besten diese ganzen Flächen berechnen sollte, kann ich dir ohne Graphen nicht sagen.
Üblich wären wohl Einteilungen in Rechtecke, Dreiecke oder Trapeze - je nach nach Verlauf des Graphen.

Inspiriert von dieser ähnlichen Aufgabe, mal eine Skizze:

http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/253649,0.html
Lunaa Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich die Teilflächen unterhalb meiner eingezeichneten Linie berechne (2 Dreiecke und 1 Rechteck), so erhalte ich einen Wert weit über 2000 verwirrt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja dann schon viel zu weit.
Nur so weit, bis die Fläche 700 Einheiten groß ist (natürlich unter der Voraussetzung, dass du das vorher richtig berechnet hast).
Mehr kann ich ohne Graph jetzt auch nicht mehr sagen. Wink
Lunaa Auf diesen Beitrag antworten »

Also die 700 (für die maximale Anzahl an Fahrzeugen) ist definitiv richtig - haben wir in der Schule verglichen.

Der Graph hat die X-Achseneinteilung von 1 Kästchen = 20 (min) und die Y-Achse hat 1 Kästchen = 5
Er beginnt bei (0/5), dann (40/10), (60/30), (80/35), (100/40), (120/40), (140/40), (160/30) -> 8:40Uhr , (180/20) und (200/10)

Die Fläche des Stau's beginnt bei x =60 und geht bis x=160


Und danke für die bisherigen Hilfestellungen!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
2. Hätte sich der Stau bis 10 Uhr aufgelöst (Ende der x-Achseneinteilung),


Ein Punkt fehlt mindestens noch, denn offenbar soll die Einteilung bei x=240 enden, also dort eine Nullstelle haben oder wieder beim Anfangswert 5 landen oder bei 10 bleiben oder...

Wenn du mir das noch sagst, dann kann ich dir die Skizze hochladen und wir können den Rest klären.

Eine (vorläufige) Interpretation:
Lunaa Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Björn,

Nein, nach dem Punkt (200/10) ist Schluss (der Graph bricht hier sozusagen ab). Die X-Achse ist bis 240 eingeteilt (Zeit in Minuten nach 6 Uhr).

Deine Skizze trifft es genau (nur das mein Graph natürlich etwas kompakter ist durch sie Skalierung).

LG
Luna
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nein, nach dem Punkt (200/10) ist Schluss (der Graph bricht hier sozusagen ab)


Wenn ich aber nicht weiter als 200 min gehen darf, machen die beiden letzten Teilaufgaben keinen Sinn, da der Zeitpunkt, zu dem sich der Stau auflöst, erst nach den 200 min ist. verwirrt
Lunaa Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann dir leider nur das wiedergeben, was die Aufgabe zeigt.
Beim Googeln habe ich die Aufgabe (in einem ähnlichen Maß) mit einer Funktionsgleichung gefunden (hier wurde dann aber die richtige Integralrechnung mit Stammfunktion verwendet, was wir ja noch nicht haben).

Ich gehe bei der Aufgabe mal davon aus, dass aufgrund von Aufgabenteil d) der Stau auf jedenfall bis 10 Uhr aufgelöst ist. 25 Fahrzeuge pro Minute würden die Sache ja verlängern (ich vermute das es dann knapp über 10 Uhr gehen könnte). Würde vermuten, dass der Stau sich um halb 10 rum aufgelöst hat (aber das sollte ich ja schon irgendwie belegen können)... verwirrt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Joa, Fakt ist, dass die rechtwinklige Dreiecksfläche mit der Hypotenuse HJ ja nur 400 Einheiten beträgt, das reicht halt nicht, um die Stauzunahme vollkommen auszugleichen.
Und naja Fakt ist ebenso, dass wenn wir die Parallele auf y=25 verschieben, es ja NOCH länger dauert, um den Stau aufzulösen und warum dann das mit 10 Uhr (240 min nach 6 Uhr) , wenn wir doch eh nur bis 9:20 (200 min nach 6 Uhr) dürfen bzw der Graph laut deinen Angaben nur bis dahin definiert ist.

Insofern, das kann so nichts werden.
Eine Möglichkeit für den Fall, dass es nach x=200 min noch bis x=240 mit konstanten 10 Autos pro Minute weitergehen soll, habe ich gepostet.
Damit würde sich der Stau eben nach x=215 min, also um 09:35 auflösen.
Rechnerisch kann man sich das auch sehr leicht vorstellen, indem man sich überlegt, wie man die fehlenden 300 Flächeneinheiten nach x=200 noch mit einem Rechteck der Höhe 20 ergänzen kann.
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