Äquivalenzklasse angeben |
| 30.11.2014, 18:34 | matheLisa94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Äquivalenzklasse angeben ich brauche mal eure Hilfe 
Im Vektorraum R³ gibt es einen Untervektorraum U, welcher vom Vektor (1, 1, 1) aufgespannt wurde. Zudem gibt es die Vektoren a und b mit: a = (1,3,7) und b = (2,8,9) Jetzt sollen die Klassen [a] und [b] im Quotientenraum R³/U bestimmt werden. ------------------------------- Darf ich mir also U als Ebene "im 1. Stock" eines 3-dimensionalen Koordinatensystems vorstellen ? Was ist mit Klassen gemeint ? Äquivalenzklassen ? Wenn ja, bisher war es so dass eine Menge gegeben war mit Äquivalenzrelationen. Und dann konnte ich beispielsweise die Äquivalenzklasse [1] anhand der Relationen bestimmen. Viele Dank schonmal 
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| 30.11.2014, 18:45 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo Lisa,
Nein, U wird ja nur von einem Vektor aufgespannt, ist also eine Gerade, keine Ebene.
Ja!
Und wie lautet die Äquivalenzrelation, die einen Quotientenraum definiert? Das müsstet ihr doch behandelt haben. LG Dustin |
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| 30.11.2014, 18:53 | matheLisa94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hey Dustin, wie darf ich mir U also vorstellen ? Eine Gerade die durch den Nullvektor und eben (1, 1, 1) geht ?
Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung, kannst du mir das kurz erklären ? Vllt finde ich dann dazu auch was in meinen 3 Tonnen aufschrieben 
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| 30.11.2014, 19:19 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Äquivalenzrelation lautet: u~v:<=> LG PS: Sorry für die späte Antwort, ich hab zu viele Threads parallel am Laufen xD |
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| 30.11.2014, 19:37 | matheLisa94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Kein Problem
Kannst du noch meine erste Frage beantworten ? Weil ich denke die Antwort ist ausschlaggebend für die Berechnung. Die Formel kommt mir ja doch bekannt vor
Also u und v aus deiner Formel sind dann meine zwei Vektoren a und b. Wenn die Differenz von a und b also in U liegt (und um das zu prüfen muss ich ja U kennen, bzw du meine erste Frage beantworten
) sind a und b Äquivalenzrelation, richtig ? |
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| 30.11.2014, 19:52 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Oh, die Frage hatte ich eben übersehen, also:
Ja!
Nein! a und b haben miteinander überhaupt nichts zu tun, man soll einmal [a], d.h. die Äquivalenzklasse von a, und einmal (analog dazu) [b] bestimmen. Natürlich kann man prüfen, ob a und b in Relation stehen, in diesem Falle wäre [a]=[b] (was aber, wie du feststellen wirst, wenn du bis jetzt alles verstanden hast, nicht der Fall ist). LG |
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| 30.11.2014, 20:03 | matheLisa94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mhh und wenn ich mir jetzt a anschaue, was ist dann u und v bzw. u - v ? |
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| 30.11.2014, 20:04 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du willst doch die Äquivalenzklasse von a, also ist u=a. v ist dann ein beliebiger Vektor, der zu a in Relation steht, und die gesuchte Äquivalenzklasse ist die Menge aller möglichen Vektoren v. |
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| 30.11.2014, 20:32 | matheLisa94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da gäbe es ja unendlich viele Vektoren oder ? Kannst du mir mal die Klasse zu a angeben, ich glaube dann sehe ich das Muster und kann es auch für b und alle anderen Aufgaben in Zukunft.
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| 30.11.2014, 20:43 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja.
Nein, aber ich kann dir dabei helfen, selbst darauf zu kommen. 1. Wie kann man denn den Unterraum U mathematisch ausdrücken (Geradengleichung)? 2. Wenn du das hast, kannst du die Äquivalenzrelations-Bedingung als Gleichung schreiben und nach v umstellen. (u=a, wie schon gesagt) LG |
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| 30.11.2014, 20:57 | matheLisa94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Eine Geradengleichung wäre ja: U = (1,3,7) + t * (1,3,7) ist das soweit korrekt ? |
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| 30.11.2014, 20:59 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Unterraum U wird doch von (1,1,1) aufgespannt. Und als Aufpunkt kannst du der Einfachheit halber den Ursprung wählen. |
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| 30.11.2014, 21:06 | matheLisa94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sry bin etwas durcheinander: U = (1,1,1) + t * (0,0,0) |
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| 30.11.2014, 21:16 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich merkt's, jetzt hast du Aufpunkt und Richtungsvektor verwechselt xD Also So, jetzt suchst du also [a], d.h. die Menge aller Vektoren, die zu a=(1,3,7) in Relation stehen, also alle v, für die gilt . Schreib das als Gleichung und stell's nach v um! |
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| 30.11.2014, 21:28 | matheLisa94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ooops. (1,3,7) - v = t * (1,1,1) <=> -v = t * (1,1,1) - (1,3,7) <=> v = -t*(1,1,1) + (1,3,7) Kann das sein ? 
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| 30.11.2014, 21:34 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Genau, und damit Analog berechnet sich [b]. LG |
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| 30.11.2014, 21:38 | matheLisa94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielen Dank
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| 30.11.2014, 21:53 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Gerne
Noch was zur Geometrie dahinter: Anschaulich besteht der Quotientenraum R³/U aus Unterräumen, die parallel zu U verlaufen, hier also zu U parallele Geraden. Jede dieser Geraden schneidet die Ursprungsebene, die senkrecht auf U steht, in genau einem Punkt, den man als jeweiligen Repräsentanten der Äquivalenzklasse wählen kann. So kann man den Quotientenraum R³/U mit der Ursprungsebene identifizieren, die auf der Geraden U senkrecht steht. |
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| 30.11.2014, 22:08 | matheLisa94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay hab doch nochmal ne Frage
Wir hatten ja für U gesagt: Das heißt doch, dass alle Vektoren in U jeweils gleiche x, y, z haben, oder ? |
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| 30.11.2014, 22:18 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja. |
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| 30.11.2014, 22:28 | matheLisa94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Warum muss das dann nicht auch für Äquivalenzklasse gelten ? Zum Beispiel bei [a]. Da ist es ja so, dass egal was ich für t einsetze, ein Vektor herauskommt, bei dem x, y und z verschieden sind. Und am Anfang hieß es ja: Die Menge aller Vektoren für die gilt: a - v aus U |
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| 30.11.2014, 22:36 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, a-v ist aus U, v selbst aber nicht. |
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