Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen Erwartungswert/Varianz

01.12.2014, 12:59

R343

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Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen Erwartungswert/Varianz

Meine Frage:
Hallo!
Es geht um folgende Aufgabe:
X und Y seien zwei voneinander unabhängige Zufallsvariablen mit E[X] = 27,
E[Y] = 13, V [X] = 10 und V [Y] = 12. Berechnen Sie für die Zufallsvariablen
a) Z1 = 3X + 7Y
b) Z2 = 3X ? 7Y
c) Z = Z1 + Z2
jeweils den Erwartungswert und die Varianz.

Meine Ideen:
Erwartungswert ist simpel:
a)3x27 + 7x13 = 172
b)3x27 - 7x13 = -10
c)172 + (-10) = 162

Ich habe das Gefühl ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht wenn es um die Varianz geht. Wenn mir jemand helfen könnte wäre ich sehr verbunden!

01.12.2014, 13:09

HAL 9000

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Die Rechenregeln für die Varianzen leiten sich aus denen für die Erwartungswerte ab. Im wesentlichen sind das dann

a) $\begin{align*} V[aX] = a^2 V[X] \end{align*}$ für reelle Konstanten $\begin{align*} a \end{align*}$

b) $\begin{align*} V[X+Y] = V[X]+V[Y] + 2C[X,Y] \end{align*}$ mit Kovarianz $\begin{align*} C[X,Y] \end{align*}$ . Letztere ist gleich Null im Fall von unabhängigen $\begin{align*} X,Y \end{align*}$ .

01.12.2014, 13:18

R343

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Danke

01.12.2014, 14:45

R343

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Ein Taxiunternehmer hat fuenf Taxen. Die Tages-Nettoeinnahmen (d.h. nach Entlohnung
der Fahrer) pro Taxi seien Zufallsvariablen X1, ...,X5 mit folgender Spezifikation:
$\begin{eqnarray*} <br /> E\left[Xi\right] = 150 <br /> \end{eqnarray*}$
i= 1,2,3,4,5
$\begin{eqnarray*} <br /> \sqrt{V\left[Xi\right]} = 50 <br /> \end{eqnarray*}$
i= 1,2,3,4,5
Außerdem sei corr = 0, 4 fuer $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ .

Aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{V\left[Xi\right]} = 50 \end{eqnarray*}$ schließe ich dass die Varianz für jedes einzelne i 2500 sein muss.

a) Errechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung der Tageseinnahme
des Taxiunternehmers.

Der kumulierte Erwartungswert beträgt 750. Der Erwartungswert jedes i´s wird aufsummiert.

Aber wie komme ich auf die kumulierte Standardabweichung? Die Lösung sei 180,28. Daraus schließe ich dass die Varainz 32500 wäre. Hat letzteres etwas mit der Rechnung zu tun?

b) Errechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung der Jahreseinnahme
des Taxiunternehmers, wenn Sie davon ausgehen koennen, dass die Tageseinnahmen
(über die Tage hinweg) unabhangig sind und die Taxen an
360 Tagen unterwegs sind.

01.12.2014, 14:59

HAL 9000

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Zu a)

Was ich oben für zwei Summanden geschrieben hatte, lässt sich auf $\begin{align*} n \end{align*}$ Summanden erweitern

$\begin{align*} V\left[ \sum_{i=1}^n X_i \right] = \sum_{i=1}^n V[X_i] + 2\sum_{1\leq i<j\leq n} C[X_i,X_j] \end{align*}$

Und die Kovarianz lässt sich mit Hilfe des Korrelationskoeffizienten $\begin{align*} \varrho[X_i,X_j] = \frac{C[X_i,X_j]}{\sqrt{V[X_i]\cdot V[X_j]}} \end{align*}$ ausdrücken. Im Fall von konstanten Varianzen $\begin{align*} \sigma^2 \end{align*}$ und konstanten Korrelationskoeffizienten $\begin{align*} \varrho \end{align*}$ vereinfachen sich die Summen drastisch zu

$\begin{align*} V\left[ \sum_{i=1}^n X_i \right] = (n+n(n-1)\varrho)\sigma^2 \end{align*}$ .

01.12.2014, 23:36

R343

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Ich nehme an dass der erste Teil der Gleichung der Summe aller Varianzen entspricht.
Daraus folgere ich :
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^5 V\left[Xi\right] = 2500\cdot 5= 12500 \end{eqnarray*}$

Der zweite Teil bezeichnet die zweifache Kovarianz. Diese habe ich nicht gegeben. Allerdings weiß ich jede einzelne Varianz sowie den Korrelationskoeffizienten(0,4).
$\begin{eqnarray*} \varrho[X_i,X_j] = \frac{C[X_i,X_j]}{\sqrt{V[X_i]\cdot V[X_j]}} \end{eqnarray*}$

Dies wird dann zu:
$\begin{eqnarray*} 0,4 = \frac{ C[X_{i},X_{j}]}{\sqrt{2500^{5} } } \end{eqnarray*}$

Ist die so richtig?

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02.12.2014, 07:39

HAL 9000

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Richtig, mit einer Ausnahme: Wieso $\begin{align*} 2500^{\color{red}5} \end{align*}$ ??? geschockt

geschockt

unglücklich

An sich hatte ich ja alles für konstante Varianzen und Korrelationskoeffizienten vorberechnet, aber es ist natürlich gut, wenn du das alles gedanklich nachvollziehen willst.

02.12.2014, 09:23

R343

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Ist jetzt der Exponent Falsch oder die Basis als Ganzes?
Ja ich möchte das alles verstehen. Rechnen können reicht mir nicht. Dabei kommt man dann an Grenzen wenn es komplexer wird.

02.12.2014, 09:36

HAL 9000

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Na der Exponent!!! Ich dachte, es wäre ein einfacher Verschreiber, aber diese verständnislose Nachfrage offenbart Schlimmeres. unglücklich

unglücklich

02.12.2014, 09:43

R343

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Achso. Ich glaube ich weiß was du meinst. Habe mich wohl verlesen. Unter der Wurzel steht "mal" nicht "bis". Hatte ein paar Auflistungen aufgeschrieben. Habe wohl nicht umgeschaltet.
$\begin{eqnarray*} V\left[x_{i} \right] = 50<br /> und<br /> V\left[x_{j} \right] = 50 \end{eqnarray*}$
Er geben dann 2500.

02.12.2014, 09:54

HAL 9000

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Mir ist es schon als Schüler in Fleisch und Blut übergegangen, in (physikalischen) Einheiten zu denken. Und da macht dieses "bis" einfach überhaupt keinen Sinn angesichts der Tatsache, dass der Korrelationskoeffizient eine dimensionslose Größe (d.h. ohne Maßeinheit) mit Werten zwischen -1 und 1 sein muss.

02.12.2014, 10:36

R343

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$\begin{eqnarray*} 0,4 = \frac{ C[X_{i},X_{j}]}{\sqrt{2500 } } \end{eqnarray*}$
C[X_{i},X_{j}]=0,4 x 50 =20

$\begin{eqnarray*} <br /> V\left[ \sum_{i=1}^n X_i \right] = \sum_{i=1}^n V[X_i] + 2\sum_{1\leq i<j\leq n} C[X_i,X_j]<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> V\left[ \sum_{i=1}^5 X_i \right] = 12500 + 2\cdot 20<br /> \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig? Rechnerisch kann ich das nachvollziehen. Aber es stimmt nicht mit der gegebenen Lösung überein. Sorry wenn ich mich gerade so dumm anstelle...

02.12.2014, 10:48

HAL 9000

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Herrje, gleich mehrere Fehler.

1) Wie groß ist die Kovarianz $\begin{align*} C[X_i,X_j] \end{align*}$ wirklich - streng nach Formel $\begin{align*} C[X_i,X_j] = \varrho[X_i,X_j] \cdot \sqrt{V[X_i]\cdot V[X_j]} \end{align*}$ .

2) Über wie viele Paare $\begin{align*} (i,j) \end{align*}$ läuft diese Summe mit der Bedingung $\begin{align*} 1\leq i < j\leq n \end{align*}$ ? Allgemein für $\begin{align*} n \end{align*}$ , oder zumindest für dein $\begin{align*} n=5 \end{align*}$ .

P.S.: Es ist übrigens $\begin{align*} \sqrt{V[X_i]}=50 \end{align*}$ und damit $\begin{align*} V[X_i]=2500 \end{align*}$ . Wäre schön, wenn du nicht andauernd verwechseln würdest. unglücklich

unglücklich

02.12.2014, 11:05

R343

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$\begin{eqnarray*} <br /> V\left[ \sum_{i=1}^n X_i \right] = (n+n(n-1)\varrho)\sigma^2<br /> \end{eqnarray*}$
und daraus
$\begin{eqnarray*} <br /> (5+5(5-1)0.4)50^2= 32500<br /> \end{eqnarray*}$
Dann die Wurzel
$\begin{eqnarray*} <br /> \sqrt{32500} = 180,28<br /> \end{eqnarray*}$
Die Formel ist mir klar. Aber ich komme dennoch nicht weiter bei der Kovarianz.

Zu deinen Punkten :
1) Genau das habe doch gerechnet?
2) ?

02.12.2014, 11:10

HAL 9000

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1) Hast du nicht - konzentrier dich doch endlich mal. Diese Abstreiterei nervt. böse

böse

2) Es gibt genau $\begin{align*} \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} \end{align*}$ solche Paare, im Fall $\begin{align*} n=5 \end{align*}$ sind das also $\begin{align*} \binom{5}{2} = 10 \end{align*}$ Paare - nicht nur eins, wie du oben gerechnet hast. unglücklich

unglücklich

Um es mal in diesem Fall ganz ausführlich aufzulisten, es sind die 10 Kovarianzen

$\begin{align*} C[X_1,X_2],\; C[X_1,X_3],\; C[X_1,X_4],\; C[X_1,X_5],\; C[X_2,X_3],\; C[X_2,X_4],\; C[X_2,X_5],\; C[X_3,X_4],\; C[X_3,X_5],\; C[X_4,X_5] \end{align*}$

02.12.2014, 11:29

R343

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Danke für deine Geduld. Ich streite nichts ab. Doch da du mir immer nur Brotkrumen hinlegst tuen sich immer neue Fragen auf die mir nicht helfen. Wenn du mir sagen könntest wo der Fehler wäre und was ich anders rechnen müsste wäre mir sehr geholfen da cih dann sicher uach deine Einwände besser verstehen würde. Danke

02.12.2014, 11:33

HAL 9000

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Dann ein allerletzter Brotkrumen, der schon die ganze Zeit daliegt, aber du liest ja die Beiträge offenbar nicht:

Zitat:

Original von HAL 9000
P.S.: Es ist übrigens $\begin{align*} \sqrt{V[X_i]}=50 \end{align*}$ und damit $\begin{align*} V[X_i]=2500 \end{align*}$ . Wäre schön, wenn du nicht andauernd verwechseln würdest. unglücklich

unglücklich

In 6 Beiträgen kriegst du es trotz zahlreicher Hinweise nicht gebacken, gegebene Werte in eine fertige Formel einzusetzen und auszurechnen - damit ist meine Geduld jetzt tatsächlich am Ende. Wink

Wink

02.12.2014, 12:02

R343

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G9E4L9Ö15S20T.

02.12.2014, 14:29

RavenOnJ

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Zitat:

Original von R343
G9E4L9Ö15S20T.

Ist das eine moderne Art von Beleidigung?

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