Stochastische Unabhängigkeit

01.12.2014, 18:36

Sarmat

Stochastische Unabhängigkeit

Folgende Aufgabe:
Für $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} \Omega = \{1, 2, ..., N\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ die Laplaceverteilung auf $\begin{eqnarray*} P(\Omega) \end{eqnarray*}$ . Für einen Primteiler $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ sei
$\begin{eqnarray*} A_{p} := \{ n \in \Omega : p~ist~Teiler~von~n \} \end{eqnarray*}$
Für die verschiedenen Primteiler $\begin{eqnarray*} p_{1}, ..., p_{m} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ zeige man:
$\begin{eqnarray*} A_{p_{1}}, ..., A_{p_{m}} \end{eqnarray*}$ sind unabhängige Ereignisse (bzgl. $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ )

Meine Frage:

Wie kann $\begin{eqnarray*} P(A_{p}) \end{eqnarray*}$ definieren?

01.12.2014, 20:52

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Seltsamer Satzbau - ich nehme an, du meinst:

Zitat:

Wie kann man $\begin{eqnarray*} P(A_{p}) \end{eqnarray*}$ definieren?

Antwort: Da gibt es nichts zu definieren. Der Wahrscheinlichkeitsraum ist klar definiert als Laplace-Raum über $\begin{align*} \Omega=\{1,\ldots,N\} \end{align*}$ , damit kann man $\begin{align*} P(A_p) \end{align*}$ , sowie auch die Wahrscheinlichkeiten der Durchschnitte mehrerer dieser $\begin{align*} A_p \end{align*}$ berechnen.

01.12.2014, 21:25

Sarmat

Auf diesen Beitrag antworten »

oh ja... "man" vergessen verwirrt

die Laplace-Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} P(A_{p}) \end{eqnarray*}$ ist so definiert: $\begin{eqnarray*} \frac{\vert A_{p} \vert}{\vert \Omega \vert} \end{eqnarray*}$
Die Mächtigkeit von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ .
Mein Problem ist die Mächtigkeit der Menge $\begin{eqnarray*} A_{p} \end{eqnarray*}$ traurig

Irgendwie fällt mir dazu nichts ein.

02.12.2014, 09:07

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sarmat
Mein Problem ist die Mächtigkeit der Menge $\begin{eqnarray*} A_{p} \end{eqnarray*}$ traurig

Irgendwie fällt mir dazu nichts ein.

Schade, denn eigentlich sind das sehr einfache Überlegungen:

$\begin{align*} A_p \end{align*}$ enthält alle ganzzahligen Vielfachen von $\begin{align*} p \end{align*}$ , die in $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ liegen. Da wir nur $\begin{align*} p \end{align*}$ betrachten, die Teiler von $\begin{align*} N \end{align*}$ sind, ist dieser größte Wert $\begin{align*} N \end{align*}$ in $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ selbst so ein Vielfaches, d.h. es ist $\begin{align*} N=kp \end{align*}$ mit $\begin{align*} k\in\mathbb{N} \end{align*}$ sowie dann

$\begin{align*} A_p = \{ p, 2p, 3p, \ldots, kp \} \end{align*}$ und somit $\begin{align*} |A_p| = k = \frac{N}{p} \end{align*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Stochastische Unabhängigkeit

Verwandte Themen