Frage zu Nullmenge

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icetea01 Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu Nullmenge
Hi, könnte mir jemand beim Beispiel 5.2.7 helfen (siehe Anhang)?

Die Definition der Nullmenge hab ich mir bisher gefühlte 100 Mal durchgelesen, doch anhand der Definition alleine werd ich nicht schlau. Ich kann mir darunter irgendwie nichts vorstellen (und muss eine Arbeit darüber (+Lebesgue'sches Kriterium) verfassen + vortragen).

Kann man das Beispiel 5.2.7 irgendwie veranschaulichen, so dass man sich darunter mehr vorstellen kann? Vielleicht für den Fall i=3 oder so? Komm da ehrlich gesagt gar nicht weiter (was meint man z.B. mit "... so bilden die Quader Q1, Q2, ... eine Überdeckung der Menge , ..."? .

Oder gibt es vielleicht ein einfacheres Beispiel? Warum ist zum Beispiel die Menge der rationalen Zahlen in der Menge der reellen Zahlen eine Nullmenge?

Vielen Dank für Eure Hilfe schon mal im Voraus!

lG
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Anschaulich ist eine Nullmenge eine Menge ohne Länge, Fläche oder Volumen (in 1,2 bzw 3 Dimensionen).

Das Intervall hat z.B. Länge 1 und das Intervall hat Länge . Nun kann man sich fragen welche Länge hat, die Menge, die nur die 1 enthält. Und sinnvollerweise sollte es keine Länge haben -- daher ist es eine -Nullmenge.

Nun sind Intervalle leicht in Länge zu messen, wie du gerade gesehen hast. Anders verhält es sich wenn ich frage wie lang ist. Um zu gucken wie lang es ist gehen wir auf etwas zurück was wir leicht messen können: Intervalle. Wir überdecken die Menge mit einer möglichst kleinen Menge an Intervallen, messen jedes einzelne, und addieren die Länge auf. Da die rationalen darin enthalten sind, und Länge monoton sein sollte ("größere Mengen sind länger als kleiner"), wissen wir das die Länge der rationalen Zahlen kleiner ist als die Summe.

Die natürliche Verallgemeinerung von Intervallen in höheren Dimensionen sind Quader. Quader sind Produkte von Intervallen, d.h. . Dass ich sie halb-offen gewählt habe ist Gewohnheit, da es mit Quadern der Form leichter Sachen beweist. Wie du vermuten kannst spielt es wie oben prinzipiell keine Rolle, ob sie offen, abgeschlossen oder halb-offen gewählt sind.

Nun sagen wir eine Menge ist eine --Nullmenge, falls sie kein "Volumen" hat, daher der Name. Wie kann man zeigen, dass etwas schräges wie kein Volumen besitzt? Man findet eine Überdeckung von Quadern mit Gesamtvolumen 0. Nun ist das nicht so einfach (bzw. einfach nicht möglich). Stattdessen argumentiert man, dass man Quader mit beliebig kleinem Gesamtvolumen findet. Beliebig klein ist hier für jedes .

Nun zur Verdeutlichung 5.2.7 in 1D aka besitzt wirklich keine Länge. Das Ziel ist also durch Intervalle zu überdecken, die eine kleine Gesamtlänge haben. Da abzählbar ist, gibt es die Bijektion . Das machen wir, weil ich gerne die rationalen Zahlen durchnummerieren. Sei nun fixiert. Dann überdecken wir die erste rationale Zahl im Sinne von durch das Intervall . Das ist das Intervall mit in der Mitte und Länge . Insbesondere überdeckt es . Damit wir eine kleine Gesamtlänge bekommen, nehmen wir für die nächste Zahl ein kleineres Intervall, nämlich . Wir machen immer so weiter und bei der -ten Zahl nehmen wir . Wir wählen sie also immer weiter kleiner. Nun wird das erste durch ein Intervall der Länge , das zweite durch ein Intervall halb so lang, also und das -te schliesslich durch . Alle Längen aufsummiert ist . Man kann es direkt ausrechnen, da es die geometrische Reihe ist. Damit hat höchstens Länge , wobei wir die Zahl beliebig klein nehmen können. D.h. die rationalen Zahlen haben keine Länge, sie sind eine Nullmenge. Der gleiche Beweis funktioniert mit jeder abzählbaren Menge, da man einfach immer über die Bijektion zu den natürlichen Zahlen argumentiert. In höheren Dimensionen geht es genauso, nur muss man nun einen Quader um alle Zahlen finden. Das ist nur notationell anspruchsvoller, weswegen man hier kurz sagt "Gibt es, geben wir nicht explizit an".
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

"Überdeckung" ist nur eine andere Formulierung für eine Teilmengenrelation:

" überdecken Menge " bedeutet nichts anderes als .

Zitat:
Original von icetea01
Warum ist zum Beispiel die Menge der rationalen Zahlen in der Menge der reellen Zahlen eine Nullmenge?

Weil die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist und es daher die im Text angeführte Überdeckung gibt - nochmal richtig durchlesen!
icetea01 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU

Nun zur Verdeutlichung 5.2.7 in 1D aka besitzt wirklich keine Länge. Das Ziel ist also durch Intervalle zu überdecken, die eine kleine Gesamtlänge haben. Da abzählbar ist, gibt es die Bijektion . Das machen wir, weil ich gerne die rationalen Zahlen durchnummerieren. Sei nun fixiert. Dann überdecken wir die erste rationale Zahl im Sinne von durch das Intervall . Das ist das Intervall mit in der Mitte und Länge . Insbesondere überdeckt es . Damit wir eine kleine Gesamtlänge bekommen, nehmen wir für die nächste Zahl ein kleineres Intervall, nämlich . Wir machen immer so weiter und bei der -ten Zahl nehmen wir . Wir wählen sie also immer weiter kleiner. Nun wird das erste durch ein Intervall der Länge , das zweite durch ein Intervall halb so lang, also und das -te schliesslich durch . Alle Längen aufsummiert ist . Man kann es direkt ausrechnen, da es die geometrische Reihe ist. Damit hat höchstens Länge , wobei wir die Zahl beliebig klein nehmen können. D.h. die rationalen Zahlen haben keine Länge, sie sind eine Nullmenge. Der gleiche Beweis funktioniert mit jeder abzählbaren Menge, da man einfach immer über die Bijektion zu den natürlichen Zahlen argumentiert. In höheren Dimensionen geht es genauso, nur muss man nun einen Quader um alle Zahlen finden. Das ist nur notationell anspruchsvoller, weswegen man hier kurz sagt "Gibt es, geben wir nicht explizit an".


Gott Danke dir, jetzt ist mir das um Einiges verständlicher (zumindest die Argumentation, warum eine Menge Nullmenge ist). Etwas verwirrt bin ich aber noch. Im Bsp. 5.2.7 ist bei Q stets die Rede von einem Quader, du beziehst du im obigen Beispiel wohl aber auf die rationalen Zahlen oder (deswegen auch das ?) ? (als auf die Aussage, dass die Menge der rationalen Zahlen in der Menge der rationalen Zahlen eine Nullmenge wäre).
Für das Beispiel 5.2.7 würde das heißen, wir überdecken das erste Element durch das Intervall (und dann so weiter)? Wie ich dann schlussendlich auf komme, wäre mir klar.

@HAL 9000: Danke auch für deine Antwort!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast Recht. Ich unterscheide zwischen und . Das eine sind Quader, das andere sind die rationalen Zahlen.

Deine Argumentation funktioniert nur, wenn du in 1D bist und die Länge einer abzählbaren Menge messen willst. Sonst musst du mehrdimensionale Quader nehmen. Die Mengen müssen schließlich wie die Elemente in leben.
icetea01 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Verstädnisfrage hätt ich noch:

wie ist das " x " im Bsp. 5.2.8 zu verstehen bzw. das "[i, -i] x " ? Hab irgendwie nichts darüber gefunden.

Danke euch im Voraus
 
 
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Das ist das kartesisches Produkt der jeweiligen Mengen.
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