Dimension und Basis von Untervektorräumen

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D2109 Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension und Basis von Untervektorräumen
Meine Frage:
Hallo liebe Helfer,

Also meine Aufgabe lautet:

Es seien


Ferner sei der von erzeugte Unterraum von und der von erzeugte Unterraum von . Desweiteren sei der von erzeugte Unterraum von . Bestimmen Sie jeweils die Dimension und eine Basis von und .

Meine Ideen:
Soweit ich weiß, muss ich für die Dimensionen jeweils die entsprechenden Vektoren der Unterräume in eine Matrix umschreiben und in ZSF bringen. Richtig? Die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in dieser Form entspricht der Dimension, oder? Wie lese ich diese Vektoren von der Endmatrix ab? Ich steh bisschen auf dem Schlauch...
D2109 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe smile
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist soweit alles korrekt. Das Ablesen ist der einfachste Schritt: Wieviele Zeilen ungleich Null gibt es in der Zeilenstufenform? Das ist die Dimension des Unterraums.
D2109 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Also habe ich jetzt erstmal die drei Vektoren für in eine Matrix geschrieben und in ZSF umgeformt. Heraus kam



Da die letzte Zeile nur aus Nullen besteht fällt diese bezüglich der Dimension schon mal weg. Die drei ersten Zeilen sind ungleich null. Durch weitere Rechnung habe ich herausgefunden, dass die drei übrigen Vektoren



linear unabhängig sind.
Nun meine Fragen:
1. Ist die lineare Unabhängigkeit der Vektoren Voraussetzung dafür, dass deren Anzahl die Dimension ergibt?
2. Da die Vektoren linear unabhängig sind, bilden sie denn gleich die Basis des Unterraums? Oder wie genau rechne ich die Basis aus den Vektoren aus? Muss ich wegen auch jeweils den vierten Koeffizienten 0 wieder in die Vektoren einfügen?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Die Vektoren als Zeilen zu schreiben wäre sinnvoller gewesen, da dann die Stufenform drei Vektoren liefert, die sich linear aus den Ausgangsvektoren kombinieren lassen. Aufgrund der Stufenform ist es dann leicht Rückschlüsse auf eine Basis zu treffen.

So wie Du es jetzt hast ist ohne weiteres Wissen (Nämlich, dass Spalten- und Zeilenrang einer Matrix stets übereinstimmen) nicht klar, was die Umformung gebracht hat und deshalb hast Du vermutlich auch die Probleme mit der Form etwas anzufangen.
D2109 Auf diesen Beitrag antworten »

Also gleich zu Beginn die Vektoren als Zeilen statt Spalten in eine Matrix schreiben und auf ZSF bringen?
Ach und ich hab einen Fehler gefunden in der Rechnung zu meiner Endmatrix, ich fange mal von vorne an... smile
 
 
D2109 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, ich hab hab die Vektoren in Zeilen geschrieben und umgeformt komme ich darauf:



Leider komme ich jetzt nicht weiter...
Genauso habe ich aber auch den ursprünglichen Weg wieder probiert (Vektoren wie gewohnt in Spalten geschrieben) und komme auf die verbesserte ZSF:



Also scheint die Dimension doch gleich 2 zu sein. Bezüglich der Basis komme ich aber leider doch nicht weiter... Bitte um Hilfe!
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von D2109
Leider komme ich jetzt nicht weiter...


Woran scheitert es denn? Sind die Vektoren linear unabhängig oder nicht?
D2109 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin die sache jetzt nochmal ruhig angegangen und hab erstmal die Vektoren in Spalten geschrieben und das ist meine Endmatrix:



Daraus hab ich den Lösungsweg gewählt:

(I)

(II)




Dann habe ich z.B. gewählt:


Die Probe mit jedem mit den Vektoren hat 0 ergeben, also war meine Rechnung bisher richtig. Daraus ergab sich ja, dass die Vektoren linear abhängig sind, also keine Basis bilden.
Für die Basis hab ich nun die Vektoren in Zeilen geschrieben und die Endmatrix hierbei war:



Hieraus habe ich gefolgert, dass die Basis von ist, wobei



Da die Basis 2 Vektoren enthält, gilt , oder? Andererseits hätte ich dies auch aus der ZSF der Endmatrix der Spaltenschreibweise folgern können, oder nicht? ABER wie hätte ich da die Basisvektoren herausfinden können?

Und ist der Lösungsweg denn bisher korrekt? Ich hoffe es mal! Wink
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