Beweis für Konvergenzkriterium

01.12.2014, 23:41

JonDoe

Beweis für Konvergenzkriterium

Also, da mein letzter Post deutlich in die Hose ging (wegen Umgangston) versuchs ich's hie rnochmal Big Laugh

Also ich bin ziemlich in Stress weil ich Fieberkrank war und wohl dadurch auc hpaar Gehirnzellen verlorene gegangen sind xD denn ich steig nicht so ganz hinter dem was wir grad machen. geschockt

zur Sache: Ich hab mir mal Papulla zugelegt, um mal alles Schritt für Schritt nochmal von vorn anzugehen und da hab ich schon Probleme bei den unendlichen Reihen.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty 0,2^{n-1} \end{eqnarray*}$

geometrische Reihe. Für diese soll die Konvergenz gelten.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

harmonsiche Reihe. Dem soll die Ehre nicht zuteil werden.

Wieso nicht? Aus den Folgen weiß ich noch dass eine Funktion konvergent ist wenn sie sich an der 0 anschmiegt. Jetzt ist hier bei den Reihen von Summenwert die Rede. Ich versteh nicht so recht die Definition davon, auch das mit dem Grenzwert kann ich den Unterschied zwischen den beiden nicht feststellen.
Ok, das mit der Nullfolge hat sich erledigt wenn ^n-1 => ^1-1 = 1 ergibt und zudem bei beiden Funktionen der Wert stetig wächst! Nun vertshe ich aber wikrlich nicht warum es bei der harmonischen Reihe sich NICHT um Konvergenz handeln soll. unglücklich

Papulla sagt ja auch noch "Auf den Beweis wollen wir verzichten" Ja neee, wollen WIR eben nicht! böse

Denn ich kann das anscheinend so nicht nachvollziehen.
Es muss ja die Bedingung gelten:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$

02.12.2014, 07:52

Iorek

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RE: Beweis für Konvergenzkriterium

Zitat:

Original von JonDoe
Aus den Folgen weiß ich noch dass eine Funktion konvergent ist wenn sie sich an der 0 anschmiegt.

Das stimmt schon einmal nicht. Warum sollte eine Folge (von Funktionen redet man dabei in der Regel nicht) nur dann konvergent sein, wenn sie eine Nullfolge ist? Zur korrekten Definition einer konvergenten Folge: [WS] Folgen

Zitat:

Original von JonDoe
Jetzt ist hier bei den Reihen von Summenwert die Rede. Ich versteh nicht so recht die Definition davon, auch das mit dem Grenzwert kann ich den Unterschied zwischen den beiden nicht feststellen.

Zunächst einmal gibt es auch keinen Unterschied, eine Reihe ist mathematisch nichts anderes eine Folge. Allerdings wird es beim Umgang mit Reihen anders zugehen. Zur Definition einer Reihe und der Reihenkonvergenz: [WS] Reihen

Zitat:

Original von JonDoe
Ok, das mit der Nullfolge hat sich erledigt wenn ^n-1 => ^1-1 = 1 ergibt und zudem bei beiden Funktionen der Wert stetig wächst!

Was willst du hier sagen? verwirrt

Zitat:

Original von JonDoe
Nun vertshe ich aber wikrlich nicht warum es bei der harmonischen Reihe sich NICHT um Konvergenz handeln soll. unglücklich

Papulla sagt ja auch noch "Auf den Beweis wollen wir verzichten" Ja neee, wollen WIR eben nicht! böse

Denn ich kann das anscheinend so nicht nachvollziehen.

Dass die harmonische Reihe nicht konvergiert, lässt sich nachrechnen. Dass die Folge, über der die Reihe gebildet wird eine Nullfolge ist, reicht also nicht aus, damit auch die Reihe konvergiert. Siehe: [WS] Reihen

Zitat:

Original von JonDoe
Es muss ja die Bedingung gelten:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$

Hier steht keine Bedingung sondern einfach nur eine Reihe.

02.12.2014, 18:26

JonDoe

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Es muss ja die Bedingung gelten:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$ Hier steht keine Bedingung sondern einfach nur eine Reihe.

Das ist ja ein Bildungsgesetz, d.h. es besteht ein funktioneller Zusammenhang zur Funktion f, aus dem sich die Reihenglieder in Abhängigkeit von der natürlichen Zahl n berechnen lassen oder nicht? Das heißt, die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$ wenn deren Summen einen Grenzwert haben konvergieren sie. oder?! Nur weiß ich nicht wie ich das "berechnen" soll oder wo der Unterschied zwischen der harmonischen und geometrischen Reihe liegt, warum das eine konvergent ist, das andere nicht. Denn sowohl bei der harmonsichen, als auch bei der geometrischen Reihe wächst bei diesem Beispiel der Summenwert

02.12.2014, 21:44

Iorek

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Wo kommt denn jetzt auf einmal eine Funktion her? geschockt

Und was du dann von irgendwelchen Reihen und deren Summen sagen willst, erschließt sich mir auch nicht.

Beschreibe einmal in deinen eigenen Worten, was eine Reihe ist.

02.12.2014, 23:09

JonDoe

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty 0,2^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

hier

02.12.2014, 23:55

Iorek

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Das sind zwei Reihen, das beantwortet aber nicht meine Frage:

Zitat:

Original von Iorek
Beschreibe einmal in deinen eigenen Worten, was eine Reihe ist.

Wir sollten ja zumindest wissen, über das für Objekte wir uns hier eigentlich unterhalten.

03.12.2014, 16:35

JonDoe

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Eine Reihe ist ist quasi eine Folge...nur als Partialsumme zu vertstehen. So wäre eine Folge der Funktion: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ konvergent. Sie besitzt einen Grenzwert (nähert sich der 0)
Aber bei Reihen wäre $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ divergent. Weiiiiil???

Ich will wissen... wieso jetzt bei der geomterischen Reihe KOnvergenz herrscht, bei der harmonischen nicht. Ich meine werder das eine noch das andere nähert sich 0. Wie genau ist hier der Grenzwert definiert?? Wiki sagt: "Falls die Folge dieser Partialsummen einen Grenzwert besitzt, so wird dieser der Wert oder die Summe der Reihe genannt." In Papulla wird als Beispeil s = 1,25 stehen. Das habe ich leider nicht so verstanden Hammer

ferner steht:

"Eine konvergente Reihe wird formal als unbedingt konvergent definiert, wenn jede ihrer Umordnungen wieder konvergiert und denselben Grenzwert hat. Die letzte Eigenschaft braucht jedoch nicht vorausgesetzt zu werden, da jede Reihe, deren sämtliche Umordnungen konvergent sind, auch für jede Umordnung denselben Wert hat. Eine konvergente Reihe, die nicht unbedingt konvergent ist, heißt bedingt konvergent.
In endlich-dimensionalen Räumen gilt der Satz:
Eine Reihe ist genau dann unbedingt konvergent, wenn sie absolut konvergent ist.
Für eine bedingt konvergente Reihe kann man eine beliebige Zahl vorgeben und dann eine Umordnung dieser Reihe finden, die gegen genau diese Zahl konvergiert (riemannscher Umordnungssatz). Insbesondere kann man als Zahl auch keine Zahl vorgeben, soll heißen, dass die Reihe divergieren solle, und findet eine geeignete Umordnung, die das tut."

äääh... whut??

03.12.2014, 16:59

Iorek

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Du schmeißt hier mit irgendwelchen Begriffen um dich, bringst Funktionen ohne Notwendigkeit ins Spiel, formulierst Bedingungen die keine Bedingungen sind, beschäftigst dich jetzt auf einmal mit Umordnungen und bedingter Konvergenz und hast wahrscheinlich höchstens die Hälfte der verwendeten Begriffe überhaupt selbst verstanden. unglücklich

Auf die Gefahr hin mich zu wiederholen:

Zitat:

Original von Iorek

Zitat:

Original von Iorek
Beschreibe einmal in deinen eigenen Worten, was eine Reihe ist.

Wir sollten ja zumindest wissen, über das für Objekte wir uns hier eigentlich unterhalten.

Keine Definitionen aus Wikipedia, keine seitenlangen Abhandlungen über absolut und bedingt konvergente Reihen, einfach nur eine Umschreibung was man unter einer Reihe versteht. Ohne eine Vorstellung von diesem Objekt zu haben, lohnt es sich nicht weitere Überlegungen anzustellen.

03.12.2014, 17:02

JonDoe

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Hab ich doch...Eine Reihe ist eine FOlge von Partialsummen n (Partialsummen!). Und absoult konvergent bedeutet dass die Reihe die Konvergenzkriterien erfüllt. So kann eine Reihe die Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$
erfüllen, aber trotzdem divergent sein (siehe harmonsiche Reihe). Ich will halt wissen wieso das denn jetzt.

04.12.2014, 10:26

Iorek

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In deinen eigenen Worten ist eine Reihe also eine Folge von Partialsummen...ich hätte da jetzt eher eine Umschreibung der Art "Summe mit unendlich vielen Summanden" erwartet.

Mir ist immer noch nicht klar, was du mit deinen ganzen Ausführungen willst, und du benutzt nach wie vor falsche Begriffe. Durch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ ist keine Bedingungen bzw. Anfangsbedingung gegeben. Dabei handelt es sich schlicht und einfach nur um eine Reihe, von Bedingungen ist da nirgends eine Rede. Absolut konvergent bedeutet auch nicht, dass die Reihe irgendwelche Konvergenzkriterien erfüllt.

Es scheint dir um die Divergenz der harmonischen Reihe zu gehen. Einen Nachweis, dass diese Reihe divergent ist, habe ich dir bereits oben gegeben: [WS] Reihen Einen anderen Zugang hat Leopold vor einiger Zeit schon einmal formuliert.

04.12.2014, 14:51

JonDoe

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Ok, es hat sich erledigt. Danke

04.12.2014, 15:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von JonDoe
So kann eine Reihe die Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$ erfüllen, aber trotzdem divergent sein (siehe harmonsiche Reihe).

Also bezeichnungsmäßig bist du voll durch den Wind, deshalb versteht dich auch keiner. Aus dem letzten Nebensatz lässt sich vermuten, dass du eigentlich

Zitat:

So können bei einer Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$ die Reihenglieder $\begin{align*} a_n \end{align*}$ die Bedingung $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} a_n = 0 \end{align*}$ erfüllen, aber trotzdem die Reihe divergent sein (siehe harmonische Reihe).

meinst. Ein himmelweiter Unterschied in der Symbolik...

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