Basisübergangsmatrix

02.12.2014, 11:43	Lia18	Auf diesen Beitrag antworten »
Basisübergangsmatrix Meine Frage: Hallo, ich habe folgendes gegeben: K1 = (e1,e2,e3) B1 = ((1,0,1), (0,0,2), (0,3,0)) K2 = (e1,e2,e3,e4) B2 = (e1+e2, e2+e3, e3+e4, e4) Dazu soll ich alle vier möglichen Übergangsmatrizen bilden. Ist eine Basisübergangsmatrix einfach eine Matrix, bei der man einen Basiswechsel durchführt? Und wie komme ich damit auf VIER Basisübergangsmatrizen? Meine Ideen: Ich hab B= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ invertiert und erhalte $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Ist das eine Übergangsmatrix?
03.12.2014, 11:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die Inverse einer Matrix ist keine Übergangsmatrix. Mit Übergangsmatrix bezeichnet man auch eine Basiswechselmatrix (siehe z.B. hier : http://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_%28Vektorraum%29 ) K1 und B1 sind zwei Basen eines 3-dimensionalen Vektorraumes, K2 und B2 sind 2 Basen eines 4-dimensionalen Vektorraumes. Es gibt die 4 Basiswechselmatrizen $\begin{eqnarray} T_{B1}^{K1},T_{K1}^{B1},T_{B2}^{K2},T_{K2}^{B2} \end{eqnarray}$ , wie man sie berechnet, steht auch in dem Wikipedia-Artikel.
05.12.2014, 10:15	Lia18	Auf diesen Beitrag antworten »
hm, ich hab das jetzt mehrfach gelesen, das hilft mir aber irgendwie trotzdem nicht weiter. Bei den Beispielen sind immer die Matrizen B und B' gegeben. Ich hingegen habe kein B' gegeben. Und wie bringe ich K dann darin unter?
05.12.2014, 11:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
B und B' sind keine Matrizen sondern Basen. Der Schlüsselsatz in Wikipedia lautet: Die Basiswechselmatrix $\begin{eqnarray} T_{B'}^B \end{eqnarray}$ für den Basiswechsel von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} B' \end{eqnarray}$ ist eine $\begin{eqnarray} n \times n \end{eqnarray}$ -Matrix. Also steht oben eine Basis und unten eine Basis, und die Transformationsmatrix T ist genau das was du suchst. Wie man sie berechnet steht auch noch im Artikel von Wikipedia. Ganz sicher weißt du auch, dass mit K1=(e1,e2,e3) die Standardbasis gemeint ist, d.h. e1=(1,0,0) usw. Klar ist auch, dass du immer Spaltenvektoren schreiben musst, Zeilenvektoren ist reine Faulheit.
05.12.2014, 13:04	Lia18	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber in dem Artikel steht doch, dass $\begin{eqnarray} T_{K}^{B} = B <br /> und <br /> T_{B}^{K} = B ^{-1} \end{eqnarray}$ ist, wenn K die Standardbasis ist?
05.12.2014, 13:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt "zufällig", das hatte ich übersehen. Dann ist dein erster Ansatz der beste aller möglichen Ansätze. Danke für die Begründung, jetzt verstehe ich es auch. Tipp: Das zweite Problem wird genau so einfach gelöst wie das erste.
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05.12.2014, 13:32	Lia18	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist jetzt aber keine Ironie, dass das so richtig ist?
05.12.2014, 14:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ganz ernsthaft, ich habe von Dir gelernt, dass der Spezialfall einfacher ist als der allgemeine Fall.

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