Bahn und Standgruppe einer Permutation

02.12.2014, 22:43	siesn	Auf diesen Beitrag antworten »
Bahn und Standgruppe einer Permutation Meine Frage: Die Aufgabe ist folgende: Es sei $\begin{eqnarray} \sigma = (1 2 3) \cdot (5 6 7 8) \in S_8<br /> Sei G := \langle \sigma \rangle und <br /> \mathrm{\Gamma}: G x \{1,2,3,4,5,6,7,8\} \to \{1,2,3,4,5,6,7,8\}<br /> (\sigma^i, j) \to \sigma^i(j)<br /> \end{eqnarray}$ Geben Sie für jedes der Elemente 1, 4, und 5 seine G-Bahn und seine Standgruppe in G an. Meine Ideen: Ich habe ein paar Ansätze, bin mir aber unsicher und hoffe daher auf Aufklärung und Hilfe. Die Bahn von x ist definiert als: G ist Gruppe, M eine Menge $\begin{eqnarray} <br /> \sigma: G \times M \to M<br /> G \cdot x := \{ g\cdot x \in M \mid g \in G\}<br /> G \cdot 1 = \sigma(1) = 2 ?<br /> G \cdot 4 = \sigma(4) = 4 ?<br /> G \cdot 5 = \sigma(5) = 6 ?<br /> \end{eqnarray}$ Standgruppe von x ist mit denselben Bedingungen definiert. Die Standgruppe ist $\begin{eqnarray} G_x := \{ g \in G \mid g \cdot x = x\}<br /> G_1 = \{ \sigma \in G \mid \sigma (1) = 1\}<br /> = \emptyset, \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} \sigma(1) \neq 1<br /> G_4 = \{\sigma(4)\} = \{4\}<br /> G_5 = \emptyset, \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} \sigma(5) \neq 5<br /> \end{eqnarray}$ Ist das richtig? Danke!
03.12.2014, 13:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} G=< \sigma >=\{\sigma,\sigma^2,...\} \end{eqnarray}$ besteht aus mehr als einem Element. Bahnen: Berechne für jedes Element aus $\begin{eqnarray} G=\{\sigma^i; i=1,2,...\} \end{eqnarray}$ die Bahn für jedes j=1,...,8. Standgruppen: Jede Gruppe enthält das neutrale Element, also kann die Standgruppe für kein j leer sein. Standgruppen sind Untergruppen von G. Auch hier musst du wieder viele Rechnungen durchführen.
03.12.2014, 14:47	siesn	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann wäre doch die Bahn $\begin{eqnarray} <br /> G \cdot x = G \cdot 1= \{\sigma(1), \sigma(1)^2 , \sigma(1)^3\}<br /> = \{2, 3, 1\}<br /> G \cdot 4 = \{4\}<br /> G \cdot 5 = \{6, 7, 8, 5\}<br /> \end{eqnarray}$ Ist das korrekt?
03.12.2014, 15:03	siean	Auf diesen Beitrag antworten »
Und die standgruppen wären dann $\begin{eqnarray} <br /> G_1 = \{\sigma \in G \mid \sigma (1)=1\} = \{\sigma (1)^3\}<br /> G_4 = \{\sigma (4)\}<br /> G_5 = \{\sigma (5)^4\}<br /> \end{eqnarray}$
03.12.2014, 17:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch nicht so ganz richtig ... 1. Bahnen : Da M 8 Elemente enthält, gibt es 8 Bahnen G1, G2, ... , G8. Richtig ist schon mal, dass die Bahnen die Menge M in Klassen zerlegen, so wie es sein muss. 2. Standgruppen: Was du für Gruppen hältst, sind keine. Ich hatte schon gesagt, dass jede Standgruppe eine Untergruppe von G ist. Du musst nicht nur ein Element der Standgruppen für 3 Elemente der Menge M suchen, sondern alle Elemente der Standgruppen für jedes Element von M, das ergibt 8 Standgruppen. Außerdem ist z.B. $\begin{eqnarray} \sigma(1)=2\in M \end{eqnarray}$ ganz sicher kein Element von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ! Hier ist Fleißarbeit gefragt.
03.12.2014, 22:04	siesn	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Bahnen: So wie ich das verstanden habe, soll ich nur G * 1, G * 4, G * 5 angeben, so wie in der Aufgabenstellung beschrieben. Es gibt zwar 8 Bahnen, aber ich soll doch nur 3 davon angeben!? Sind den die, die ich hingeschrieben habe richtig? 2. Standgruppen: Auch hier soll ich doch nur G_1, G_4 und G_5 untersuchen (nach Aufgabenstellung)!? Bei G_1 habe ich mir natürlich verschrieben. Es müsste heißen: $\begin{eqnarray} <br /> G_1 = \{\sigma (1) ^3\}<br /> \end{eqnarray}$ jetzt alles korrekt? Danke dir vielmals!
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04.12.2014, 11:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, nach Aufgabe sollen Bahnen und Standgruppen nur für die Elemente 1,4,5 aus M berechnet werden. Die Bahnen sind richtig. Übrigens stimmen die Bahnen der anderen Elemente aus M mit diesen Bahnen überein: eine Bahn enthält genau die Elemente des jeweiligen Zykels der Permutation. Die Standgruppen sind völlig falsch. Ich wiederhole noch einmal, dass eine Standgruppe eine Untergruppe von G ist. Beispiel: Die Standgruppe von 8 besteht aus allen Potenzen von $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ , die das Element 8 fest lassen. Das sind $\begin{eqnarray} \sigma^0=\iota=\sigma^{12},\sigma^4,\sigma^8 \end{eqnarray}$ , also eine Untergruppe der Ordnung 3 in der zyklischen Gruppe $\begin{eqnarray} G=<\sigma> \end{eqnarray}$ der Ordnung 12.

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